矩形作为一种特殊的平行四边形,其对角线具有以下重要性质:
对角线相等:矩形的两条对角线长度相等。即若四边形ABCD是矩形,AC和BD是其对角线,则AC = BD。这一性质可通过全等三角形证明。在矩形ABCD中,∠ABC = ∠DCB = 90°,AB = DC,BC为公共边,根据直角三角形全等判定定理(SAS),可证明△ABC≌△DCB,所以AC = BD 。
对角线互相平分:矩形的两条对角线相互平分。也就是说,矩形对角线的交点将每条对角线都分成相等的两段。同样因为矩形是平行四边形,而平行四边形的对角线互相平分,所以矩形也具备这一特性。若AC与BD相交于点O,则AO = OC = 1/2AC,BO = OD = 1/2BD 。
对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形:由于矩形对角线相等且互相平分,以矩形ABCD为例,对角线AC、BD相交于点O,形成的△AOB、△BOC、△COD、△DOA 都是等腰三角形,并且这四个三角形面积相等。因为它们等底等高,比如△AOB和△BOC,底分别是AO和OC(AO = OC),高都是从B点到AC的垂线段,所以 。