实数是有理数和无理数的总称,所以实数之外的数都不被实数所包含,主要有以下几类:
虚数:这是一种引入的数,用于解决负数开平方等在实数范围内无解的问题。规定 , 称为虚数单位。例如
在实数范围内无意义,但在虚数体系中
=2i 。形如 ( 均为实数)的数叫做复数,当 时, 就是虚数。虚数不属于实数范畴。
超实数:超实数系统是实数系统的一种扩充,它包含了无穷小量(绝对值小于任何正实数的非零数)和无穷大量(绝对值大于任何正实数的数)等概念。超实数在非标准分析领域有重要应用,与常规的实数有着明显区别,不在实数集合之内。
四元数:由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在1843年创立,它是一种形如 的数,其中 是实数, 满足特定的运算规则,且 , , 等。四元数拓展了复数的概念,属于更广义的数系,并非实数。