跪求15个不定积分的公式

以下为15个常见的不定积分公式：

$\int kdx = kx + C$（$k$为常数）

解释：常数的不定积分等于该常数乘以自变量再加上积分常数$C$。例如，对于$\int 5dx$，根据此公式可得$5x + C$ 。

 

$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n \neq - 1$）

解释：幂函数的不定积分，指数加1后除以新的指数，再加上积分常数。比如$\int x^3dx$，$n = 3$，则结果为$\frac{1}{3 + 1}x^{3 + 1} = \frac{1}{4}x^4 + C$。

 

$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$

解释：自变量倒数的不定积分是自变量绝对值的自然对数加上积分常数。例如当$x > 0$时，$\int \frac{1}{x}dx = \ln x + C$；当$x < 0$时，$\int \frac{1}{x}dx = \ln (-x) + C$，合并起来就是$\ln|x| + C$。

 

$\int e^x dx = e^x + C$

解释：自然指数函数的不定积分等于它本身加上积分常数。例如$\int e^{2x}$不能直接用此公式，需变形处理（令$u = 2x$等方法），而对于$\int e^x dx$ 直接得$e^x + C$。

 

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0$且$a \neq 1$）

解释：一般指数函数的不定积分，结果是该指数函数除以底数的自然对数再加上积分常数。例如$\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$。

 

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

解释：正弦函数的不定积分是负的余弦函数加上积分常数。例如求$\int \sin 3x dx$，需先换元（令$u = 3x$）再计算，而单纯$\int \sin x dx$ 结果就是$-\cos x + C$。

 

$\int \cos x dx = \sin x + C$

解释：余弦函数的不定积分是正弦函数加上积分常数。例如$\int \cos (2x + 1)dx$需换元求解，对于$\int \cos x dx$ 直接得$\sin x + C$。

 

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

解释：正割函数平方的不定积分是正切函数加上积分常数。例如$\int \sec^2 2xdx$，令$u = 2x$，$du = 2dx$，则$\int \sec^2 2xdx = \frac{1}{2}\tan 2x + C$，而$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$。

 

$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$

解释：余割函数平方的不定积分是负的余切函数加上积分常数。例如$\int \csc^2 (3x)dx = -\frac{1}{3}\cot 3x + C$，对于$\int \csc^2 x dx$ 结果为$-\cot x + C$。

 

$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$

解释：正割函数与正切函数乘积的不定积分是正割函数加上积分常数。例如$\int \sec 2x \tan 2x dx = \frac{1}{2}\sec 2x + C$，对于$\int \sec x \tan x dx$ 得$\sec x + C$。

 

$\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

解释：余割函数与余切函数乘积的不定积分是负的余割函数加上积分常数。例如$\int \csc 3x \cot 3x dx = -\frac{1}{3}\csc 3x + C$，对于$\int \csc x \cot x dx$ 得$-\csc x + C$。

 

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arcsin x + C$

​1​dx=arcsinx+C

解释：根号下一减自变量平方分之一的不定积分是反正弦函数加上积分常数。例如$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}}dx$

​1​dx，先变形为$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}dx$

​1​dx，再令$u = 2x$，结果为$\frac{1}{2}\arcsin 2x + C$，而$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arcsin x + C$

​1​dx=arcsinx+C。

 

$\int \frac{1}{1 + x^2}dx = \arctan x + C$

解释：一加自变量平方分之一的不定积分是反正切函数加上积分常数。例如$\int \frac{1}{1 + 9x^2}dx$，变形为$\frac{1}{3}\int \frac{1}{1+(3x)^2}dx$，令$u = 3x$，结果为$\frac{1}{3}\arctan 3x + C$，对于$\int \frac{1}{1 + x^2}dx$ 得$\arctan x + C$。

 

$\int \sinh x dx = \cosh x + C$

解释：双曲正弦函数的不定积分是双曲余弦函数加上积分常数。双曲正弦函数$\sinh x