光子动量公式怎么推倒rt

光子动量公式 $p = \frac{h}{\lambda}$ （$p$是光子动量，$h$是普朗克常量 ，$\lambda$ 是光的波长）可以通过以下两种常见方法推导：

方法一：基于相对论能量 - 动量关系和光子能量公式

回顾相对论能量 - 动量关系：
对于任何粒子，其能量 $E$、动量 $p$ 和静止质量 $m_0$ 满足相对论能量 - 动量关系式 $E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}$ ，其中 $c$ 是真空中的光速。

考虑光子的特性：
光子的静止质量 $m_0 = 0$ ，将 $m_0 = 0$ 代入上述相对论能量 - 动量关系式，得到光子的能量 $E$ 和动量 $p$ 的关系为 $E = pc$ 。

引入光子能量公式：
根据量子理论，光子的能量 $E$ 与频率 $\nu$ 有关，其表达式为 $E = h\nu$ ，其中 $h$ 是普朗克常量。

利用频率与波长的关系：
光的频率 $\nu$ 、波长 $\lambda$ 和光速 $c$ 满足关系 $c=\lambda\nu$ ，即 $\nu=\frac{c}{\lambda}$ 。

推导光子动量公式：
将 $E = h\nu$ 和 $\nu=\frac{c}{\lambda}$ 代入 $E = pc$ 中，可得 $h\frac{c}{\lambda}=pc$ ，两边同时约去 $c$ ，就得到光子动量公式 $p = \frac{h}{\lambda}$ 。

方法二：基于康普顿效应

康普顿效应描述：
康普顿效应是指当 X 射线或伽马射线的光子与物质相互作用时，光子与电子发生弹性碰撞，散射光子的波长会发生变化。

碰撞中的动量守恒和能量守恒：

设入射光子的能量为 $E = h\nu$ ，动量为 $p_1=\frac{h\nu}{c}$ ，散射光子的能量为 $E' = h\nu'$ ，动量为 $p_2=\frac{h\nu'}{c}$ ，电子的静止质量为 $m_0$ ，碰撞前电子静止，动量为 $0$ ，碰撞后电子获得动量 $p_e$ 。

根据动量守恒定律，在碰撞过程中，系统的总动量保持不变。在二维平面内（假设碰撞发生在一个平面上），可以列出动量守恒的分量方程。在光子入射方向和垂直于入射方向分别列方程。

根据能量守恒定律，有 $h\nu + m_0c^{2}=h\nu'+ \sqrt{m_{0}^{2}c^{4}+p_{e}^{2}c^{2}}$

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求解散射光子的波长变化：
经过一系列复杂的数学运算（包括对动量守恒和能量守恒方程的联立求解、三角函数运算等），最终得到散射光子的波长 $\lambda'$ 与入射光子的波长 $\lambda$ 之间的关系为 $\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_0c}(1 - \cos\theta)$ ，其中 $\theta$ 是散射光子与入射光子方向之间的夹角。

得出光子动量公式：
从康普顿效应的整个分析过程以及结果可以反推得出光子的动量 $p = \frac{h}{\lambda}$ 。这种推导方式从实验现象出发，进一步验证了光子具有动量并且其动量与波长之间的定量关系 。