二阶等差数列怎么求通项公式?

定义：

若数列$\{ a_{n}\}$的一阶差数列（即由相邻两项的差$b_{n}=a_{n + 1}-a_{n}$构成的数列$\{ b_{n}\}$）是等差数列，则称数列$\{ a_{n}\}$为二阶等差数列。

 

求通项公式的方法——累加法：

设二阶等差数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，一阶差数列$\{ b_{n}\}$（$b_{n}=a_{n + 1}-a_{n}$）的首项为$b_{1}$，公差为$d$。

首先求出一阶差数列$\{ b_{n}\}$的通项公式，因为$\{ b_{n}\}$是等差数列，根据等差数列通项公式可得$b_{n}=b_{1}+(n - 1)d$。

然后求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式：

已知$b_{n}=a_{n + 1}-a_{n}$，则有：

$a_{2}-a_{1}=b_{1}$

$a_{3}-a_{2}=b_{2}=b_{1}+d$

$a_{4}-a_{3}=b_{3}=b_{1}+2d$

$\cdots$

$a_{n}-a_{n - 1}=b_{n - 1}=b_{1}+(n - 2)d$

 

将以上$n - 1$个式子累加可得：

$(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\cdots+(a_{n}-a_{n - 1}) = b_{1}+(b_{1}+d)+(b_{1}+2d)+\cdots+[b_{1}+(n - 2)d]$

等式左边消去中间项后得到$a_{n}-a_{1}$。

等式右边是$(n - 1)b_{1}+[1 + 2+\cdots+(n - 2)]d$。

根据等差数列求和公式$S_{k}=\frac{k(k + 1)}{2}$，这里$k=n - 2$，则$1 + 2+\cdots+(n - 2)=\frac{(n - 2)(n - 1)}{2}$。

所以$a_{n}-a_{1}=(n - 1)b_{1}+\frac{(n - 2)(n - 1)}{2}d$。

移项可得$a_{n}=a_{1}+(n - 1)b_{1}+\frac{(n - 1)(n - 2)}{2}d$。

 

 

 

其中$a_{1}$是数列$\{ a_{n}\}$的首项，$b_{1}=a_{2}-a_{1}$是一阶差数列的首项 ，$d$是一阶差数列的公差。

例如，已知二阶等差数列$\{ a_{n}\}$中$a_{1}=1$，$a_{2}=3$，且一阶差数列的公差$d = 2$。首先$b_{1}=a_{2}-a_{1}=3 - 1 = 2$，根据上述通项公式$a_{n}=1+(n - 1)\times2+\frac{(n - 1)(n - 2)}{2}\times2$，化简可得$a_{n}=1 + 2n - 2+(n - 1)(n - 2)=n^{2}$ 。