根式的运算法则

根式的运算法则主要涉及同次根式与不同次根式在乘除、加减等运算方面的规则，以下为您详细介绍：

同次根式的运算法则

乘法法则：同次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。用公式表示为$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$

​⋅nb

​=nab

​（$a\geq0$，$b\geq0$，$n$为大于$1$的整数）。

例如$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2×4} = \sqrt[3]{8} = 2$

​⋅34

​=32×4

​=38

​=2。

 

除法法则：同次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。用公式表示为$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

​na

​​=nba​

​（$a\geq0$，$b > 0$，$n$为大于$1$的整数）。

例如$\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{16}{2}} = \sqrt[4]{8}$

​416

​​=4216​

​=48

​。

 

不同次根式的运算法则

不同次根式进行乘除运算时，先将它们化为同次根式，再按照同次根式的乘除法则进行运算。将不同次根式化为同次根式的依据是根式的基本性质$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}$

​=npamp

​（$a\geq0$，$m$、$n$、$p$为正整数，$n > 1$）。

例如计算$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}$

​⋅33

​：

先确定$2$和$3$的最小公倍数为$6$。

将$\sqrt{2}$

​化为$6$次根式：$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{6}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$

​=221​=263​=623

​=68

​。

将$\sqrt[3]{3}$

​化为$6$次根式：$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$

​=331​=362​=632

​=69

​。

则$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{8×9} = \sqrt[6]{72}$

​⋅33

​=68

​⋅69

​=68×9

​=672

​。

 

根式的加减法法则

只有同类根式（被开方数相同且根指数也相同的根式）才能进行加减运算。进行加减法时，将同类根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变 。

例如$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3 + 5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

​+52

​=(3+5)2

​=82

​；$2\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{5} = (2 - 1)\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}$

​−35

​=(2−1)35

​=35

​。如果不是同类根式，则不能直接进行加减运算，比如$\sqrt{3} + \sqrt[3]{3}$

​+33

​就无法进一步合并化简。