过圆上的切线方程公式

已知圆的标准方程及圆上一点求切线方程

设圆的标准方程为$(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2$，点$P(x_0,y_0)$是圆上一点。

则过点$P$的切线方程为$(x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2$。

推导思路：圆心坐标为$C(a,b)$，那么直线$CP$的斜率$k_{CP}=\frac{y_0 - b}{x_0 - a}$（当$x_0\neq a$时）。因为切线与过切点的半径垂直，所以切线的斜率$k$与$k_{CP}$的乘积为$- 1$，可得切线斜率$k =-\frac{x_0 - a}{y_0 - b}$（当$y_0\neq b$时）。由点斜式$y - y_0 = k(x - x_0)$可得切线方程$y - y_0 =-\frac{x_0 - a}{y_0 - b}(x - x_0)$，整理后即为$(x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2$。当$x_0 = a$时，切线方程为$y = y_0$；当$y_0 = b$时，切线方程为$x = x_0$，该公式依然适用。

 

已知圆的一般方程及圆上一点求切线方程

设圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$（$D^{2}+E^{2}-4F>0$），点$P(x_0,y_0)$在圆上。

则过点$P$的切线方程为$x_0x + y_0y + D\cdot\frac{x + x_0}{2}+E\cdot\frac{y + y_0}{2}+F = 0$。

推导思路：将圆的一般方程配方化为标准方程，再利用上述标准方程情况下的切线方程推导方法，经过一系列化简运算可以得到此公式。本质上还是基于切线与过切点的半径垂直这一几何性质，结合直线方程的相关知识得出。