正多边形的外角和

任意正多边形的外角和都为$360^{\circ}$。

下面为你推导这个结论：
设正$n$边形的每个外角的度数为$x_1,x_2,\cdots,x_n$。

因为多边形的一个内角与它相邻的外角互补，即相加等于$180^{\circ}$ 。

对于正$n$边形，其内角和公式为$(n - 2)\times180^{\circ}$，那么每个内角的度数为$\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n}$ ，所以每个外角的度数$x_i = 180^{\circ}-\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n}$（$i = 1,2,\cdots,n$）。

化简$x_i$可得：

$$\begin{align*} x_i&= 180^{\circ}-\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n}\\ &=\frac{180^{\circ}n - (n - 2)\times180^{\circ}}{n}\\ &=\frac{180^{\circ}n - 180^{\circ}n + 360^{\circ}}{n}\\ &=\frac{360^{\circ}}{n} \end{align*}$$

则正$n$边形外角和$S = x_1 + x_2+\cdots + x_n = n\times\frac{360^{\circ}}{n}=360^{\circ}$ 。

所以，不管是正三角形、正四边形还是其他任意正多边形，其外角和恒为$360^{\circ}$ 。