圆与直线相切的公式是啥

圆与直线相切有多种情况，下面分别从不同角度给出相关公式：

从圆心到直线的距离角度

设圆的方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$；直线方程为$Ax + By + C = 0$（$A$、$B$不同时为$0$ ）。
若圆与直线相切，则圆心$(a,b)$到直线$Ax + By + C = 0$的距离$d$等于圆的半径$r$。
根据点到直线的距离公式$d = \frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

​∣Aa+Bb+C∣​，此时满足$\frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = r$

​∣Aa+Bb+C∣​=r。这就是判断圆与直线相切的一个重要公式依据。例如圆$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$与直线$3x + 4y + 5 = 0$，圆心$(1,2)$，半径$r = 2$，根据上述公式计算圆心到直线距离$d = \frac{\vert 3\times1 + 4\times2 + 5\vert}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{\vert 3 + 8 + 5\vert}{5} = \frac{16}{5} \neq 2$

​∣3×1+4×2+5∣​=5∣3+8+5∣​=516​=2，说明该圆与直线不相切。

从联立方程角度

将圆的方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$展开得$x^{2} - 2ax + a^{2} + y^{2} - 2by + b^{2} - r^{2} = 0$ ，直线方程$y = kx + m$（斜率存在情况，若斜率不存在可单独讨论）代入圆的方程，得到一个关于$x$的一元二次方程$Ax^{2} + Bx + C = 0$（$A\neq0$）。
因为圆与直线相切，所以此一元二次方程有且仅有一个解，即判别式$\Delta = B^{2} - 4AC = 0$。例如圆$x^{2} + y^{2} = 1$与直线$y = x + b$，将$y = x + b$代入圆方程得$x^{2} + (x + b)^{2} = 1$，展开为$2x^{2} + 2bx + b^{2} - 1 = 0$，这里$A = 2$，$B = 2b$，$C = b^{2} - 1$ ，由$\Delta = (2b)^{2} - 4\times2\times(b^{2} - 1) = 0$，可求解出$b = \pm\sqrt{2}$

​，即当$b = \pm\sqrt{2}$

​时直线$y = x + b$与圆$x^{2} + y^{2} = 1$相切。