二项式系数是什么

在数学中，二项式系数是指形如$(a + b)^n$展开式中各项的系数。以下为你详细介绍：

定义与表达式

对于二项式$(a + b)^n$，根据二项式定理，其展开式为$(a + b)^n = C_{n}^0a^n + C_{n}^1a^{n - 1}b + C_{n}^2a^{n - 2}b^2 + \cdots + C_{n}^nb^n$，其中$C_{n}^k$（$k = 0, 1, 2, \cdots, n$）就是二项式系数 。

二项式系数$C_{n}^k$的计算公式为$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘，即$n!=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times2\times1$，规定$0!=1$。例如，计算$C_{5}^2$，根据公式可得$C_{5}^2 = \frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5!}{2!×3!}=\frac{5\times4\times3!}{2\times1\times3!}=10$。

性质

对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即$C_{n}^k = C_{n}^{n - k}$。例如在$(a + b)^6$的展开式中，$C_{6}^2 = C_{6}^4$ 。

增减性与最大值：当$k \lt \frac{n + 1}{2}$时，二项式系数$C_{n}^k$是逐渐增大的；当$k \gt \frac{n + 1}{2}$时，二项式系数$C_{n}^k$是逐渐减小的。当$n$为偶数时，中间一项（第$\frac{n}{2} + 1$项）的二项式系数最大；当$n$为奇数时，中间两项（第$\frac{n + 1}{2}$项和第$\frac{n + 1}{2} + 1$项）的二项式系数相等且最大。例如$(a + b)^{10}$，$n = 10$为偶数，中间一项是第$6$项，$C_{10}^5$最大；$(a + b)^{9}$，$n = 9$为奇数，中间两项是第$5$项和第$6$项，$C_{9}^4 = C_{9}^5$且最大。

各二项式系数的和：$(a + b)^n$展开式的二项式系数之和为$2^n$，即$C_{n}^0 + C_{n}^1 + C_{n}^2 + \cdots + C_{n}^n = 2^n$。令$a = b = 1$，就可得到这个结果。此外，展开式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于$2^{n - 1}$，即$C_{n}^0 + C_{n}^2 + C_{n}^4+\cdots = C_{n}^1 + C_{n}^3 + C_{n}^5+\cdots = 2^{n - 1}$。