抛物线切点弦方程抛物线的切点弦方程是什么

对于抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$的切点弦方程推导及结论

设抛物线上有两点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，过$A$，$B$两点的切线方程分别为：

对于抛物线$y^{2}=2px$，对其两边关于$x$求导得$2y\frac{dy}{dx}=2p$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{p}{y}$。

过点$A(x_{1},y_{1})$的切线方程为$y - y_{1}=\frac{p}{y_{1}}(x - x_{1})$，因为$y_{1}^{2}=2px_{1}$，整理可得$y_{1}y = p(x + x_{1})$。

过点$B(x_{2},y_{2})$的切线方程为$y_{2}y = p(x + x_{2})$。

 

设点$P(x_{0},y_{0})$是抛物线外一点，若直线$AB$是点$P$关于抛物线$y^{2}=2px$的切点弦，则$A$，$B$两点处的切线都过点$P(x_{0},y_{0})$。

所以$\begin{cases}y_{1}y_{0}=p(x_{0}+x_{1})\\y_{2}y_{0}=p(x_{0}+x_{2})\end{cases}$，这表明点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$都在直线$y_{0}y = p(x_{0}+x)$上。

所以抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$外一点$P(x_{0},y_{0})$的切点弦方程是$y_{0}y = p(x_{0}+x)$。

 

 

对于抛物线$y^{2}=-2px(p\gt0)$的切点弦方程

同样先求导，由$y^{2}=-2px$，两边对$x$求导得$2y\frac{dy}{dx}=-2p$，$\frac{dy}{dx}=-\frac{p}{y}$。

按照上述类似的方法，设抛物线上两点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，过$A$，$B$的切线方程分别为$y_{1}y=-p(x + x_{1})$，$y_{2}y=-p(x + x_{2})$。

若点$P(x_{0},y_{0})$是抛物线$y^{2}=-2px$外一点，其切点弦方程是$y_{0}y=-p(x_{0}+x)$。

 

对于抛物线$x^{2}=2py(p\gt0)$的切点弦方程

对$x^{2}=2py$两边关于$x$求导得$2x = 2p\frac{dy}{dx}$，$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{p}$。

过抛物线上点$A(x_{1},y_{1})$的切线方程为$x_{1}x = p(y + y_{1})$，过点$B(x_{2},y_{2})$的切线方程为$x_{2}x = p(y + y_{2})$。

设点$P(x_{0},y_{0})$是抛物线$x^{2}=2py$外一点，其切点弦方程是$x_{0}x = p(y_{0}+y)$。

 

对于抛物线$x^{2}=-2py(p\gt0)$的切点弦方程

对$x^{2}=-2py$求导得$2x=-2p\frac{dy}{dx}$，$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{p}$。

经过类似推导，若点$P(x_{0},y_{0})$是抛物线$x^{2}=-2py$外一点，其切点弦方程是$x_{0}x=-p(y_{0}+y)$ 。

 

总结来说，对于抛物线$y^{2}=2px(p\neq0)$，点$P(x_{0},y_{0})$（$P$在抛物线外）的切点弦方程是$y_{0}y = p(x_{0}+x)$；对于抛物线$x^{2}=2py(p\neq0)$，点$P(x_{0},y_{0})$（$P$在抛物线外）的切点弦方程是$x_{0}x = p(y_{0}+y)$ 。