求积分tanx

首先将$\tan x$进行变形：

因为$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，所以求$\int\tan xdx$就转化为求$\int\frac{\sin x}{\cos x}dx$。

 

然后利用换元法求解：

设$u = \cos x$，那么$du=-\sin xdx$，即$\sin xdx=-du$。

则$\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=\int\frac{-du}{u}$。

根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$（$C$为常数），可得$\int\frac{-du}{u}=-\int\frac{du}{u}=-\ln|u|+C$。

 

最后再把$u = \cos x$代回：

把$u=\cos x$代入$-\ln|u| + C$，得到$-\ln|\cos x|+C$。

又因为$-\ln|\cos x|=\ln|\frac{1}{\cos x}|=\ln|\sec x|$（$\sec x=\frac{1}{\cos x}$是正割函数）。

 

所以$\int\tan xdx = -\ln|\cos x| + C=\ln|\sec x|+C$ ，$C$为任意常数。