求两圆公共弦长主要有两种常见方法，对应不同公式： 方法一：先求出公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式和弦长公式求解 设两圆的方程分别为C 1 : x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0 C_1:x^{2}+y^{2}+D_1x + E_1y + F_1 = 0C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ① C 2 : x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0 C_2:x^{2}+y^{2}+D_2x + E_2y + F_2 = 0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ② 用① - ②消去二次项，可得两圆公共弦所在直线方程为 ( D 1 − D 2 ) x + ( E 1 − E 2 ) y + ( F 1 − F 2 ) = 0 (D_1 - D_2)x+(E_1 - E_2)y+(F_1 - F_2)=0(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0 设圆C 1 C_1C1的圆心坐标为( − D 1 2 , − E 1 2 ) (-\frac{D_1}{2},-\frac{E_1}{2})(−2D1,−2E1)，半径为r 1 = D 1 2 4 + E 1 2 4 − F 1 r_1=\sqrt{\frac{D_1^{2}}{4}+\frac{E_1^{2}}{4}-F_1}r1=4D12+4E12−F1 根据点( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)(x0,y0)到直线A x + B y + C = 0 Ax + By + C = 0Ax+By+C=0 的距离公式d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}d=A2+B2∣Ax0+By0+C∣，可求出圆心( − D 1 2 , − E 2 2 ) (-\frac{D_1}{2},-\frac{E_2}{2})(−2D1,−2E2)到公共弦所在直线( D 1 − D 2 ) x + ( E 1 − E 2 ) y + ( F 1 − F 2 ) = 0 (D_1 - D_2)x+(E_1 - E_2)y+(F_1 - F_2)=0(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0 的距离d dd 再根据弦长公式L = 2 r 1 2 − d 2 L = 2\sqrt{r_1^{2}-d^{2}}L=2r12−d2，即可求出公共弦长L LL 方法二：利用相交弦定理 若两圆相交于A AA、B BB两点，两圆半径分别为R RR，r rr（R ≥ r R\geq rR≥r），圆心距为d dd，设公共弦长为l ll 半弦长l 2 \frac{l}{2}2l 、两圆半径与圆心距构成直角三角形关系。
由勾股定理可得：( l 2 ) 2 = R 2 − d 1 2 = r 2 − d 2 2 (\frac{l}{2})^{2}=R^{2}-d_{1}^{2}=r^{2}-d_{2}^{2}(2l)2=R2−d12=r2−d22，且d 1 + d 2 = d d_{1} + d_{2} = dd1+d2=d 经过推导可得公共弦长公式为l = 2 ( R + r + d ) ( R + r − d ) ( R − r + d ) ( − R + r + d ) 2 d l = 2\frac{\sqrt{(R + r + d)(R + r - d)(R - r + d)( - R + r + d)}}{2d}l=22d(R+r+d)(R+r−d)(R−r+d)(−R+r+d) 相比之下，第一种方法更为常用，它思路清晰，步骤明确，适用于各种已知圆方程求公共弦长的情况。