什么叫幂函数?什么叫指数函数:

幂函数

定义：一般地，形如 $y = x^{\alpha}$（$\alpha$ 为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如 $y = x$（$\alpha = 1$） 、$y = x^{2}$（$\alpha = 2$）、$y = x^{\frac{1}{2}}$（$\alpha=\frac{1}{2}$ ）、$y = x^{-1}$（$\alpha = - 1$）等都是幂函数。

性质

定义域与值域：幂函数的定义域和值域随指数$\alpha$ 的不同而不同。例如，$y = x^{3}$ 的定义域和值域都是$R$；$y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

​ 的定义域是$[0, +\infty)$，值域也是$[0, +\infty)$ ；$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$ 的定义域和值域都是$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

单调性：当$\alpha>0$ 时，幂函数在$[0, +\infty)$ 上单调递增；当$\alpha<0$ 时，幂函数在$(0, +\infty)$ 上单调递减 。

图象特征：幂函数的图象都经过点$(1,1)$。当$\alpha>0$ 时，图象过点$(0,0)$ 和$(1,1)$；当$\alpha<0$ 时，图象不过点$(0,0)$，且以两坐标轴为渐近线。

 

指数函数

定义：一般地，函数 $y = a^{x}$（$a>0$，且 $a\neq1$）叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，函数的定义域是 $R$。例如 $y = 2^{x}$ 、$y = (\frac{1}{3})^{x}$ 等都是指数函数。这里需要注意底数 $a$ 的取值范围，$a > 0$ 是为了保证函数有意义，若 $a = 0$，当 $x\leqslant0$ 时函数无意义；若 $a < 0$，比如 $a=-2$，当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$( - 2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}$

​ 在实数范围内无意义。$a\neq1$ 是因为当 $a = 1$ 时，$y = 1^{x}=1$，它是一个常函数，不具备指数函数的特性。

性质

定义域与值域：指数函数的定义域是 $R$，值域是 $(0, +\infty)$。这意味着对于任意实数 $x$，$a^{x}$ 都有意义，并且函数值恒大于 $0$。

单调性：当 $a>1$ 时，指数函数 $y = a^{x}$ 在 $R$ 上单调递增；当 $0 < a < 1$ 时，指数函数 $y = a^{x}$ 在 $R$ 上单调递减。

特殊点：指数函数的图象都经过点 $(0,1)$，即当 $x = 0$ 时，$a^{0}=1$（$a>0,a\neq1$） 。