四棱柱的体积和表面积公式

直四棱柱

直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱。设直四棱柱底面四边形的面积为$S$，高（侧棱长）为$h$ ，底面四边形的周长为$C$。

体积公式：$V = Sh$

推导思路：直四棱柱可以看作是由无数个与底面全等且平行的平面图形叠加而成，其体积就等于底面积乘以高。例如一个底面面积是$20$平方厘米，高为$5$厘米的直四棱柱，根据公式可得体积$V = 20×5 = 100$立方厘米。

 

表面积公式：$S_{表}= 2S + Ch$

推导思路：直四棱柱的表面积由两个底面和四个侧面组成。两个底面的面积均为$S$，所以底面总面积是$2S$；侧面都是矩形，每个侧面的面积等于底面边长乘以高，底面四边形周长$C$乘以高$h$就是四个侧面的总面积，二者相加就是直四棱柱的表面积。

 

斜四棱柱

斜四棱柱是侧棱不垂直于底面的四棱柱。设斜四棱柱底面四边形的面积为$S$，高（两底面间的垂直距离）为$h$ ，侧棱长为$l$，底面四边形的周长为$C$。

体积公式：$V = Sh$

推导思路：与直四棱柱体积公式推导类似，斜四棱柱的体积同样是底面积乘以两底面间的垂直距离（即高）。比如一个底面面积为$30$平方厘米，高为$4$厘米的斜四棱柱，其体积$V = 30×4 = 120$立方厘米。

 

表面积公式：$S_{表}= 2S + Cl$

推导思路：斜四棱柱表面积也是由两个底面和四个侧面构成。两个底面面积之和为$2S$ ；侧面是平行四边形，每个侧面面积等于底面边长乘侧棱长，底面四边形周长$C$乘侧棱长$l$就是四个侧面的总面积，两者相加即为斜四棱柱的表面积。