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二次根式化简方法二次根式化简公式及方法,今天上午答出加分

2025-04-12 早教访问手机版

二次根式化简公式

$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$

=∣a∣

当 $a\geq0$ 时， $\sqrt{a^2}=a$

=a ，例如 $\sqrt{3^2} = 3$

=3；

当 $a\lt0$ 时， $\sqrt{a^2}=-a$

=−a ，例如 $\sqrt{(-3)^2} = \vert - 3\vert = 3$

=∣−3∣=3 。

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$

=a

⋅b

(a≥0,b≥0)

利用此公式可以将被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来，例如 $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

=4×3

×3

=23

。

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b\gt0)$

=b

(a≥0,b>0)

该公式用于分母有理化，把分母中的根号化去，例如 $\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

×3

=36

。

二次根式化简方法

将被开方数化为最简形式

分解因数或因式：把被开方数分解成质因数或因式的乘积形式，找出其中能开得尽方的因数或因式。例如化简 $\sqrt{72}$

，先将 $72$ 分解因数： $72 = 2\times36 = 2\times6^2$ ，则 $\sqrt{72}=\sqrt{2\times6^2}=6\sqrt{2}$

=2×62

=62

。

完全平方公式的运用：对于形如 $\sqrt{a^2 + 2ab + b^2}$

或 $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$

的式子，可根据完全平方公式 $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2$ 进行化简。例如 $\sqrt{x^2 + 6x + 9}=\sqrt{(x + 3)^2}=\vert x + 3\vert$

=(x+3)2

=∣x+3∣，当 $x\geq - 3$ 时，结果为 $x + 3$ ；当 $x\lt - 3$ 时，结果为 $-(x + 3)= - x - 3$ 。

分母有理化

单项式分母有理化：如果分母是单项式 $\sqrt{a}$

（ $a\gt0$ ），则分子分母同乘 $\sqrt{a}$

。例如 $\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

1=5

×5

1×5

=55

。

多项式分母有理化：当分母是多项式，如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$

（ $a\geq0,b\geq0$ 且 $a\neq b$ ）时，利用平方差公式 $(m + n)(m - n)=m^2 - n^2$ ，分子分母同乘 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$

−b

。例如 $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

1=(3

)(3

−2

=3−23

−2

。

合并同类二次根式

识别同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。例如 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

=22

， $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

=32

， $\sqrt{2}$

、 $2\sqrt{2}$

、 $3\sqrt{2}$

就是同类二次根式。

合并方法：同类二次根式可以像合并同类项一样进行合并，只把系数相加减，被开方数和根指数不变。例如 $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(2 + 3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

+33

=(2+3)3

=53

。

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