怎样用两角和的正弦公式推导两角差的正弦公式?

首先回顾两角和的正弦公式：

两角和的正弦公式为$\sin(\alpha +\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$。

 

然后利用这个公式来推导两角差的正弦公式：

对于$\sin(\alpha-\beta)$，可以将其变形为$\sin[\alpha+(-\beta)]$。

此时把$-\beta$看作一个整体，根据两角和的正弦公式$\sin(\alpha +\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，这里$\beta$变为$-\beta$，则有：

$\sin[\alpha+(-\beta)]=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)$。

 

接着根据三角函数的诱导公式：

$\cos(-\beta)=\cos\beta$，$\sin(-\beta)=-\sin\beta$。

 

将上述诱导公式代入$\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)$可得：

$\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha(-\sin\beta)$。

进一步化简得到$\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$。

 

所以$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$，这就是两角差的正弦公式。

 

综上，通过将$\sin(\alpha - \beta)$变形为$\sin[\alpha+(-\beta)]$，再利用两角和的正弦公式以及三角函数诱导公式，成功推导出了两角差的正弦公式 。