容斥原理的公式是什么?一般推论又是什么?

容斥原理是一种计数方法，用于计算多个集合的并集元素个数，避免重复计算。以下为你介绍其公式和一般推论：

公式

两个集合的容斥原理公式
若有两个集合 $A$ 和 $B$，那么 $A$ 与 $B$ 的并集中元素的个数等于 $A$ 集合元素个数加上 $B$ 集合元素个数减去 $A$ 与 $B$ 的交集中元素的个数，即$\vert A \cup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert - \vert A \cap B \vert$。

三个集合的容斥原理公式
对于三个集合 $A$、$B$、$C$，它们的并集中元素个数为$\vert A \cup B \cup C \vert = \vert A \vert + \vert B \vert + \vert C \vert - \vert A \cap B \vert - \vert A \cap C \vert - \vert B \cap C \vert + \vert A \cap B \cap C \vert$。

一般推论（推广到 $n$ 个集合的情况 ）

设有 $n$ 个集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n$，则它们的并集元素个数为：

$$\begin{align*} \vert A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \vert =& \sum_{i = 1}^{n} \vert A_i \vert - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \vert A_i \cap A_j \vert + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} \vert A_i \cap A_j \cap A_k \vert - \cdots + (-1)^{n - 1} \vert A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \vert \end{align*}$$

其中：

$\sum_{i = 1}^{n} \vert A_i \vert$表示这 $n$ 个集合各自元素个数的总和。

$\sum_{1 \leq i < j \leq n} \vert A_i \cap A_j \vert$表示从 $n$ 个集合中任选 $2$ 个集合取交集，然后求这些交集元素个数的总和。

$\sum_{1 \leq i < j < k \leq n} \vert A_i \cap A_j \cap A_k \vert$表示从 $n$ 个集合中任选 $3$ 个集合取交集 ，再求这些交集元素个数的总和，以此类推。最后一项$(-1)^{n - 1} \vert A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \vert$ 是 $n$ 个集合的交集元素个数，前面的符号根据项数的奇偶性确定 。