加权平均数的计算公式

加权平均数的计算公式有两种常见形式：

已知权重和各数值

若有$n$个数$x_1,x_2,\cdots,x_n$，它们对应的权重分别为$w_1,w_2,\cdots,w_n$，那么加权平均数$\overline{x}$的计算公式为：

$\overline{x}=\frac{x_1w_1 + x_2w_2+\cdots + x_nw_n}{w_1 + w_2+\cdots + w_n}$

例如，学生的平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别为$85$分、$90$分、$92$ 分，它们在学期总评成绩中的权重分别是$20\%$、$30\%$、$50\%$，则学期总评成绩为：

$$\begin{align*} &\frac{85×20\% + 90×30\%+92×50\%}{20\% + 30\%+50\%}\\ =&\frac{85×0.2 + 90×0.3 + 92×0.5}{0.2 + 0.3 + 0.5}\\ =&\frac{17 + 27 + 46}{1}\\ =&90（分） \end{align*}$$

以数据分组且已知频数的情况

当数据是分组形式给出，并且知道每组的频数时，设第$i$组的组中值为$x_i$，频数为$f_i$（$i = 1,2,\cdots,k$，$k$为组数），此时加权平均数$\overline{x}$的计算公式为：

$\overline{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}x_if_i}{\sum_{i = 1}^{k}f_i}$

例如，某班学生数学考试成绩分组及频数如下：$50 - 60$分这一组的组中值$x_1 = 55$，频数$f_1 = 3$；$60 - 70$分这一组的组中值$x_2 = 65$，频数$f_2 = 5$；$70 - 80$分这一组的组中值$x_3 = 75$，频数$f_3 = 10$；$80 - 90$分这一组的组中值$x_4 = 85$，频数$f_4 = 12$；$90 - 100$分这一组的组中值$x_5 = 95$，频数$f_5 = 8$。

则该班数学考试的加权平均成绩为：

$$\begin{align*} &\frac{55×3 + 65×5 + 75×10 + 85×12 + 95×8}{3 + 5 + 10 + 12 + 8}\\ =&\frac{165 + 325 + 750 + 1020 + 760}{38}\\ =&\frac{3020}{38}\\ \approx&79.47（分） \end{align*}$$