双曲线的标准方程是什么

双曲线的标准方程有两种形式，取决于双曲线的焦点位置：

焦点在$x$轴上：

标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$ ）。

其中$a$为双曲线的实半轴长，$b$为双曲线的虚半轴长。双曲线的焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$ ，且满足$c^2 = a^2 + b^2$ ，$c$表示半焦距。渐近线方程为$y = \pm\frac{b}{a}x$。

 

焦点在$y$轴上：

标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$ ）。

这里$a$同样是实半轴长，$b$是虚半轴长。焦点坐标变为$F_1(0, - c)$，$F_2(0,c)$ ，也有$c^2 = a^2 + b^2$ 。渐近线方程是$y = \pm\frac{a}{b}x$ 。

 

例如，对于双曲线$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$，可知焦点在$x$轴上，$a^2 = 9$，即$a = 3$；$b^2 = 16$，即$b = 4$ 。根据$c^2 = a^2 + b^2$ ，可得$c = \sqrt{9 + 16} = 5$

​=5 ，其焦点坐标为$(-5,0)$和$(5,0)$ ，渐近线方程为$y = \pm\frac{4}{3}x$ 。