求三角形的面积公式.

三角形面积公式常见的有以下几种：

已知底和高：

最基本的公式为$S = \frac{1}{2}ah$ ，其中$S$表示三角形的面积，$a$表示三角形的底边长，$h$表示这条底边对应的高。例如，一个三角形的底边长为$5$厘米，这条底边上的高为$4$厘米，根据公式可得其面积$S=\frac{1}{2}\times5\times4 = 10$平方厘米。

 

已知两边及其夹角：

若已知三角形的两条边$a$、$b$以及它们的夹角$C$，则面积公式为$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ 。同样，如果知道另外两组边和夹角（如$b$、$c$ 与夹角$A$ ，或$a$、$c$与夹角$B$ ），也可以用类似公式$S = \frac{1}{2}bc\sin A$ 、$S = \frac{1}{2}ac\sin B$来计算面积。例如在一个三角形中，$a = 3$，$b = 4$ ，夹角$C = 30^{\circ}$ ，因为$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$ ，所以该三角形面积$S=\frac{1}{2}\times3\times4\times\frac{1}{2}=3$ 。

 

已知三边：

当已知三角形三条边$a$、$b$、$c$时，可以先通过海伦公式来计算面积。首先计算半周长$s=\frac{a + b + c}{2}$ ，然后三角形面积$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

​ 。例如，对于一个三边分别为$3$、$4$、$5$的三角形，半周长$s=\frac{3 + 4 + 5}{2}=6$ ，则其面积$S=\sqrt{6\times(6 - 3)\times(6 - 4)\times(6 - 5)}=\sqrt{6\times3\times2\times1}=\sqrt{36}=6$

​=6×3×2×1

​=36

​=6 。

 

此外，对于直角三角形，由于两条直角边互为底和高，所以面积$S=\frac{1}{2}×$一条直角边$×$另一条直角边。对于等边三角形，设边长为$a$ ，其高$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

​​a ，那么面积$S=\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a=43

​​a2 。