等差、等比数列的求和公式和求每项的公式都是什么啊

等差数列

通项公式（求每项的公式）：$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$

$a_{n}$表示第$n$项的数值。

$a_{1}$为首项，即数列的第一项。

$n$为项数，指数列中项的序号。

$d$为公差，是等差数列中任意相邻两项的差值 ，且$d = a_{n + 1} - a_{n}$。例如等差数列$2, 5, 8, 11, \cdots$，$a_{1}=2$，$d = 5 - 2 = 3$。

 

求和公式：

公式一：$S_{n}=\frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$

$S_{n}$表示前$n$项的和。此公式适用于已知首项$a_{1}$和末项$a_{n}$以及项数$n$的情况。比如求等差数列$1, 3, 5, 7, 9$前$5$项的和，$a_{1}=1$，$a_{5}=9$，$n = 5$，则$S_{5}=\frac{5×(1 + 9)}{2}=25$。

 

公式二：$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$

该公式适用于已知首项$a_{1}$、公差$d$和项数$n$的情况。例如对于等差数列$2, 4, 6, 8, \cdots$，$a_{1}=2$，$d = 2$，求前$10$项和，$S_{10}=10×2+\frac{10×(10 - 1)}{2}×2 = 20 + 90 = 110$ 。

 

 

等比数列

通项公式（求每项的公式）：$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$

$a_{n}$为第$n$项的值。

$a_{1}$是首项。

$n$是项数。

$q$为公比，是等比数列中任意相邻两项的比值，且$q=\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$（$q\neq0$）。例如等比数列$2, 4, 8, 16, \cdots$，$a_{1}=2$，$q = \frac{4}{2}=2$，那么第$5$项$a_{5}=2×2^{5 - 1}=2×16 = 32$。

 

求和公式：

当$q\neq1$时：$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$

$S_{n}$是前$n$项的和。例如等比数列$3, 6, 12, 24, \cdots$，$a_{1}=3$，$q = 2$，求前$4$项和，$S_{4}=\frac{3×(1 - 2^{4})}{1 - 2}=\frac{3×(1 - 16)}{ - 1}=45$。

 

当$q = 1$时：$S_{n}=na_{1}$

此时数列每一项都相等，例如等比数列$5, 5, 5, 5, \cdots$，$a_{1}=5$，求前$6$项和，$S_{6}=6×5 = 30$。