平面直角坐标系中两点间距离公式： 设平面直角坐标系中有两点A ( x 1 , y 1 ) A(x_1,y_1)A(x1,y1)，B ( x 2 , y 2 ) B(x_2,y_2)B(x2,y2)，则A AA、B BB两点间的距离d ( A , B ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 d(A,B)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2。
推导过程：过A AA、B BB分别作x xx轴、y yy轴的垂线，两垂线相交于点C CC。
则A C = ∣ y 2 − y 1 ∣ AC = |y_2 - y_1|AC=∣y2−y1∣，B C = ∣ x 2 − x 1 ∣ BC = |x_2 - x_1|BC=∣x2−x1∣。
在直角三角形A B C ABCABC中，根据勾股定理A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}AB2=AC2+BC2，即A B = A C 2 + B C 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}AB=AC2+BC2=(x2−x1)2+(y2−y1)2 ，所以A AA、B BB两点间的距离d ( A , B ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 d(A,B)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2。
空间直角坐标系中两点间距离公式： 设空间直角坐标系中有两点P ( x 1 , y 1 , z 1 ) P(x_1,y_1,z_1)P(x1,y1,z1)，Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) Q(x_2,y_2,z_2)Q(x2,y2,z2)，则P PP、Q QQ两点间的距离d ( P , Q ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 d(P,Q)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2+(z_2 - z_1)^2}d(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2。
推导思路与平面类似，通过构造长方体，将两点间的线段作为长方体的体对角线，利用长方体体对角线与棱长的关系（体对角线的平方等于三条棱的平方和），结合平面直角坐标系中两点间距离公式进行推导得出。