初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
以下从定义、构成、性质等方面详细介绍初等函数： 基本初等函数 基本初等函数包含以下五类： - 常数函数：形如 y = C y = Cy=C（C CC 为常数）的函数。
例如 y = 5 y = 5y=5，无论自变量 x xx 取何值，函数值始终为 5 55。
- 幂函数：一般形式为 y = x α y = x^{\alpha}y=xα（α \alphaα 为实数）。
例如 y = x 2 y = x^{2}y=x2，y = x 1 2 = x y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}y=x21=x 等。
- 指数函数：表达式为 y = a x y = a^{x}y=ax（a > 0 a > 0a>0 且 a ≠ 1 a \neq 1a=1）。
例如 y = 2 x y = 2^{x}y=2x，y = e x y = e^{x}y=ex（e ≈ 2.718 e\approx2.718e≈2.718 是自然常数）。
- 对数函数：形式为 y = log a x y = \log_{a}xy=logax（a > 0 a > 0a>0 且 a ≠ 1 a \neq 1a=1）。
例如 y = log 2 x y = \log_{2}xy=log2x，y = ln x y = \ln xy=lnx（自然对数，是以 e ee 为底的对数，即 ln x = log e x \ln x = \log_{e}xlnx=logex）。
- 三角函数：常见的有正弦函数 y = sin x y = \sin xy=sinx、余弦函数 y = cos x y = \cos xy=cosx、正切函数 y = tan x y = \tan xy=tanx、余切函数 y = cot x y = \cot xy=cotx、正割函数 y = sec x = 1 cos x y = \sec x = \frac{1}{\cos x}y=secx=cosx1、余割函数 y = csc x = 1 sin x y = \csc x = \frac{1}{\sin x}y=cscx=sinx1 。
初等函数的构成 由上述基本初等函数通过有限次加、减、乘、除四则运算以及复合运算得到的函数就是初等函数。
例如： - 通过四则运算构成：y = 3 x 2 + 2 sin x − 1 y = 3x^{2} + 2\sin x - 1y=3x2+2sinx−1，是由幂函数 y = x 2 y = x^{2}y=x2、三角函数 y = sin x y = \sin xy=sinx 等经过乘法、加法和减法运算得到。
- 通过复合运算构成：y = ln x y = \sqrt{\ln x}y=lnx，它是由幂函数 y = u 1 2 y = u^{\frac{1}{2}}y=u21（这里 u = ln x u=\ln xu=lnx）与对数函数 y = ln x y = \ln xy=lnx 复合而成，即把对数函数的值作为幂函数的自变量。
初等函数的性质 复制代码 - **定义域和值域**：不同的初等函数定义域和值域各不相同。
例如，\(y = \frac{1}{x}\) 的定义域是 \(x \neq 0\) 的实数集，值域也是非零实数集；而 \(y = \sin x\) 的定义域是全体实数，值域是 \([-1, 1]\)。
- **连续性**：初等函数在其定义区间内都是连续的。
这意味着函数的图像在定义区间内是不间断的，没有跳跃、断裂等情况。
例如 \(y = x^{2}\) 在整个实数域上都是连续的，其图像是一条平滑的抛物线。
- **可导性**：初等函数在其定义区间内通常是可导的（个别点除外）。
导数表示函数在某一点的变化率，通过求导公式可以计算初等函数的导数。
例如，\((x^{n})^\prime = nx^{n - 1}\)，\((\sin x)^\prime = \cos x\) 等。