弧形的面积怎么推算的?

弧形是圆或椭圆一部分的形状，通常所说弧形面积指扇形（由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形）与三角形面积组合而成的面积。以下分情况介绍其面积的推算方法：

已知扇形圆心角为弧度制

扇形面积公式推导

设扇形的半径为$r$，圆心角为$\alpha$（弧度制） 。

圆的面积公式为$S = \pi r^{2}$，整个圆的圆心角是$2\pi$弧度。

由于扇形的圆心角占整个圆的圆心角的比例为$\frac{\alpha}{2\pi}$，那么扇形面积$S_{扇}$占圆面积的比例也为$\frac{\alpha}{2\pi}$。

所以扇形面积$S_{扇}=\frac{\alpha}{2\pi}×\pi r^{2}=\frac{1}{2}\alpha r^{2}$ 。

 

弧形面积（若弧形对应的图形为扇形减去三角形）

若弧形是由扇形减去一个等腰三角形构成（该等腰三角形的两腰为扇形半径$r$ ）。

先求扇形面积$S_{扇}=\frac{1}{2}\alpha r^{2}$。

再求三角形面积，该等腰三角形的顶角为$\alpha$，两腰长为$r$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$（$a,b$为三角形两边，$C$为$a,b$夹角），此三角形面积$S_{\triangle}=\frac{1}{2}r\times r\times\sin\alpha=\frac{1}{2}r^{2}\sin\alpha$。

那么弧形面积$S = S_{扇}-S_{\triangle}=\frac{1}{2}\alpha r^{2}-\frac{1}{2}r^{2}\sin\alpha=\frac{1}{2}r^{2}(\alpha - \sin\alpha)$ 。

 

已知扇形圆心角为角度制

扇形面积公式推导

设扇形半径为$r$，圆心角为$n^{\circ}$。

同样圆的面积是$S = \pi r^{2}$，整个圆的圆心角是$360^{\circ}$。

扇形圆心角占整个圆的圆心角的比例为$\frac{n}{360}$，所以扇形面积$S_{扇}=\frac{n}{360}\times\pi r^{2}$。

 

弧形面积（若弧形对应的图形为扇形减去三角形）

先算出扇形面积$S_{扇}=\frac{n}{360}\times\pi r^{2}$。

对于等腰三角形（两腰为$r$，顶角为$n^{\circ}$ ），其面积$S_{\triangle}=\frac{1}{2}r^{2}\sin n^{\circ}$（根据$S = \frac{1}{2}ab\sin C$）。

则弧形面积$S = S_{扇}-S_{\triangle}=\frac{n}{360}\times\pi r^{2}-\frac{1}{2}r^{2}\sin n^{\circ}=r^{2}(\frac{n\pi}{360}-\frac{1}{2}\sin n^{\circ})$ 。

 

总之，计算弧形面积关键在于明确已知条件（圆心角是弧度制还是角度制、半径等），再选择合适的公式进行计算。