五年前用英语

正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，以下为你详细介绍它们的所有公式：

正弦定理

在任意$\triangle ABC$中，角$A$、$B$、$C$所对的边长分别为$a$、$b$、$c$，外接圆半径为$R$，则正弦定理的公式表述为：

基本形式：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R$

该公式表明三角形的三边与其所对角的正弦值的比值相等，且等于该三角形外接圆的直径。

例如，已知在$\triangle ABC$ 中，$A = 30^{\circ}$，$a = 5$，$B = 45^{\circ}$，由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$可得：$b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{5\times\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 5\sqrt{2}$

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常见变形：

$a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$ （边化角公式）。在一些涉及边角关系的等式证明或求解中，可将边转化为角的正弦形式进行运算。

$\sin A = \frac{a}{2R}$，$\sin B = \frac{b}{2R}$，$\sin C = \frac{c}{2R}$ （角化边公式）。当已知条件中既有边又有角，且需要统一形式时，可使用此变形。

$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$ 。这个变形常用于根据角的正弦值比例关系来确定边的比例关系，或者反之。

 

余弦定理

同样在$\triangle ABC$中，余弦定理涉及三角形三边与其中一角的关系，公式如下：

基本形式：

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$

余弦定理指出三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。例如，已知在$\triangle ABC$中，$b = 3$，$c = 4$，$A = 60^{\circ}$，根据余弦定理$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$，可得$a^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2×3×4×\cos 60^{\circ} = 13$，所以$a = \sqrt{13}$

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常见变形：

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$

这些变形用于已知三角形三边，求三个内角的余弦值，进而求出内角的大小。