数学在初中解1元2次方程有哪几种方法

在初中阶段，解一元二次方程主要有以下四种方法：

1. 直接开平方法

适用类型：适用于形如$(x + m)^2 = n$（$n\geq0$）的一元二次方程。

具体解法：根据平方根的定义，方程两边同时开平方可得$x + m = ±\sqrt{n}$

​，然后再解这两个一元一次方程，即$x = -m ±\sqrt{n}$

​。

举例：解方程$(x - 2)^2 = 9$，两边开平方得$x - 2 = ±3$。当$x - 2 = 3$时，$x = 5$；当$x - 2 = - 3$时，$x = -1$。所以方程的解为$x_1 = 5$，$x_2 = -1$ 。

2. 配方法

一般步骤

移项：把常数项移到等号右边，将一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）变形为$ax^2 + bx = -c$。

二次项系数化为$1$：方程两边同时除以二次项系数$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。

配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{b}{2a})^2$，使左边配成一个完全平方式$(x + \frac{b}{2a})^2$，此时方程变为$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。

求解：当$b^2 - 4ac≥0$时，两边开平方求解；当$b^2 - 4ac＜0$时，方程无实数根。

 

举例：解方程$x^2 + 6x - 7 = 0$

移项得$x^2 + 6x = 7$。

配方：在等式两边加上$(\frac{6}{2})^2 = 9$ ，得到$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$，即$(x + 3)^2 = 16$。

两边开平方得$x + 3 = ±4$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -7$。

 

3. 公式法

求根公式推导：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），通过配方法可得到$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。当$b^2 - 4ac≥0$时，两边开平方得$x + \frac{b}{2a}= ±\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​​，进而得出求根公式$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​​。

一般步骤

确定系数：明确方程$ax^2 + bx + c = 0$中$a$、$b$、$c$的值。

计算判别式：计算$\Delta = b^2 - 4ac$的值，判断方程根的情况。当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程无实数根。

代入求根公式：若$\Delta≥0$ ，将$a$、$b$、$c$的值代入求根公式$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​​求出方程的根。

 

举例：解方程$2x^2 - 5x + 1 = 0$，这里$a = 2$，$b = -5$，$c = 1$。

计算$\Delta = (-5)^2 - 4×2×1 = 25 - 8 = 17＞0$。

代入求根公式可得$x = \frac{5 ± \sqrt{17}}{2×2} = \frac{5 ± \sqrt{17}}{4}$

​​=45±17

​​，即$x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$

​​，$x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

​​。

 

4. 因式分解法

理论依据：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零。即若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$。

一般步骤

移项：将方程的右边化为$0$，使方程变为$ax^2 + bx + c = 0$的形式。

因式分解：把方程左边分解成两个一次因式的乘积，即$ax^2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)=0$（$m$、$n$、$p$、$q$为常数）。

求解：令每个因式分别等于$0$，得到两个一元一次方程$mx + p = 0$和$nx + q = 0$，解这两个方程，它们的解就是原一元二次方程的解。

 

举例：解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，对左边因式分解得$(x - 1)(x - 2) = 0$。

令$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；令$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。所以方程的解为$x_1 = 1$，$x_2 = 2$ 。