正八边形的面积公式

计算正八边形面积常见的公式有以下两种：

已知边长$a$

如果已知正八边形的边长为$a$，其面积公式为：
$S = 2\times(1 + \sqrt{2}) \times a^{2} \approx 4.828a^{2}$

​)×a2≈4.828a2

推导思路：把正八边形分割成$8$个等腰三角形，等腰三角形的顶角为$\frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$，底角为$(180^{\circ} - 45^{\circ})\div2 = 67.5^{\circ}$ 。通过三角函数等知识求出等腰三角形的高，进而得到单个等腰三角形的面积，再乘以$8$就得到正八边形面积，最终化简得到上述公式。

已知外接圆半径$R$

若已知正八边形外接圆半径为$R$ ，面积公式为：
$S = 2\sqrt{2}R^{2}$

​R2

推导过程：以外接圆半径$R$为腰长构造等腰三角形，同样将正八边形分成$8$个这样的等腰三角形，等腰三角形顶角为$45^{\circ}$，利用三角函数求出等腰三角形面积，再乘以$8$并化简后可得此公式。