三次函数韦达定理是什么

对于一元三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0$（$a\neq0$），若它的三个根分别为$x_1$，$x_2$，$x_3$，则有如下韦达定理：

三根之和与一次项系数、三次项系数的关系

$x_{1} + x_{2} + x_{3}=-\frac{b}{a}$

 

三根两两乘积之和与二次项系数、三次项系数的关系

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a}$

 

三根之积与常数项、三次项系数的关系

$x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a}$

 

推导过程如下：
已知一元三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0$（$a\neq0$），将其变形为 $x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$。
由于该方程的三个根为$x_1$，$x_2$，$x_3$，那么原方程可以因式分解为 $(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3}) = 0$。
将$(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})$展开：

$$\begin{align*} &(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})\\ =&[(x - x_{1})(x - x_{2})](x - x_{3})\\ =&(x^{2}-x_{2}x - x_{1}x + x_{1}x_{2})(x - x_{3})\\ =&x^{3}-x_{3}x^{2}-x_{2}x^{2}+x_{2}x_{3}x - x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}x + x_{1}x_{2}x - x_{1}x_{2}x_{3}\\ =&x^{3}-(x_{1} + x_{2} + x_{3})x^{2}+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3} \end{align*}$$

对比$x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$与$x^{3}-(x_{1} + x_{2} + x_{3})x^{2}+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}=0$的各项系数，即可得出上述韦达定理的三个式子。

韦达定理在解决三次函数相关问题，如已知方程的部分根求其他根、研究根的分布情况等方面有重要应用。