复合函数的定义?

设函数$y = f(u)$的定义域为$D_f$，值域为$R_f$，函数$u = g(x)$的定义域为$D_g$，值域为$R_g$。

如果$D_g$与$R_f$的交集非空，即$D_g\cap R_f\neq\varnothing$，那么对于$D_g$内的任意一个值$x$，经过$u = g(x)$有唯一确定的$u$值与之对应，由于$u$属于$R_f$，进而通过$y = f(u)$又有唯一确定的$y$值与$x$对应。

这时就称$y$是$x$的复合函数，记作$y = f[g(x)]$，其中$u$称为中间变量。

例如函数$y=\sqrt{u}$

​，$u = x^2 + 1$，对于函数$u = x^2 + 1$，其定义域为$R$，值域$R_{u}=[1,+\infty)$ ，而函数$y=\sqrt{u}$

​的定义域$D_y = [0,+\infty)$，显然$R_{u}\cap D_y = [1,+\infty)\neq\varnothing$，那么$y=\sqrt{x^{2}+1}$

​就是由$y = \sqrt{u}$

​与$u = x^2 + 1$复合而成的复合函数。