安心度日打一字

15°的三角函数值如下：

正弦值：$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}- 30^{\circ})$
根据两角差的正弦公式$\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$，这里$A = 45^{\circ}$，$B = 30^{\circ}$。
$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

​​，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

​​，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$。
则$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

​​×23

​​−22

​​×21​=46

​−2

​​。

余弦值：$\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})$
根据两角差的余弦公式 $\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ ，
则$\cos15^{\circ}=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

​​×23

​​+22

​​×21​=46

​+2

​​。

正切值：$\tan15^{\circ}=\frac{\sin15^{\circ}}{\cos15^{\circ}}$
把$\sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

​−2

​​，$\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

​+2

​​代入可得：
$\tan15^{\circ}=\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

​+2

​​46

​−2

​​​=6

​+2

​6

​−2

​​，分子分母同时乘以$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

​−2

​进行化简：

$$\begin{align*} &\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\\ =&\frac{6 - 2\sqrt{12}+2}{6 - 2}\\ =&\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4}\\ =&2-\sqrt{3} \end{align*}$$

​+2

​)(6

​−2

​)(6

​−2

​)2​6−26−212

​+2​48−43

​​2−3

​​

综上，$\sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

​−2

​​，$\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

​+2

​​，$\tan15^{\circ}=2 - \sqrt{3}$

​ 。