等边三角形中心到顶点的距离怎么求?

设等边三角形的边长为$a$，求其中心（重心、内心、外心、垂心四心合一）到顶点的距离，也就是求其外接圆半径$R$，有多种求解方法：

方法一：利用三角函数

作辅助线：

设等边三角形$ABC$，中心为$O$。连接$OA$、$OB$、$OC$，并过$O$作$OD\perp AB$于$D$点。

因为$O$是等边三角形的中心，所以$O$点同时也是重心，根据重心性质，$AO$平分$\angle BAC$，且$AD = \frac{1}{2}AB$。

在等边三角形$ABC$中，$\angle BAC = 60^{\circ}$，那么$\angle OAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。

 

计算相关线段长度：

已知$AB = a$，则$AD=\frac{1}{2}a$。

在$Rt\triangle AOD$中，$\cos\angle OAD = \frac{AD}{AO}$。

因为$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​，$AD = \frac{1}{2}a$，所以$AO=\frac{AD}{\cos\angle OAD}=\frac{\frac{1}{2}a}{\cos30^{\circ}}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​21​a​=33

​​a。

 

方法二：利用正弦定理

回顾正弦定理内容：

在任意$\triangle ABC$中，角$A$、$B$、$C$所对的边长分别为$a$、$b$、$c$，三角形外接圆半径为$R$，则有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R$。

 

针对等边三角形应用正弦定理：

对于等边三角形，$a = b = c$，$A = B = C = 60^{\circ}$，$\sin A=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​。

由正弦定理$\frac{a}{\sin A}= 2R$，将$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​代入可得：$2R=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

​​a​。

求解$R$，$R = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​a，即等边三角形中心到顶点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​a 。

 

综上，若等边三角形边长为$a$，其中心到顶点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​a 。