平方差公式

平方差公式是数学中一个重要的乘法公式，表述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

1. 公式表达式

$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$

其中$a$、$b$ 可以是具体的数字、单项式、多项式 。例如：

当$a = 5$，$b = 3$ 时，$(5 + 3)(5 - 3)=5^{2}-3^{2}=25 - 9 = 16$

当$a = 2x$，$b = y$ 时，$(2x + y)(2x - y)=(2x)^{2}-y^{2}=4x^{2}-y^{2}$

当$a = m + n$，$b = p$ 时，$[(m + n)+p][(m + n)-p]=(m + n)^{2}-p^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}-p^{2}$

2. 公式推导

我们可以通过多项式乘法法则来推导平方差公式：

$$\begin{align*} (a + b)(a - b)&=a\times a - a\times b + b\times a - b\times b\\ &=a^{2}-ab + ab - b^{2}\\ &=a^{2}-b^{2} \end{align*}$$

3. 几何意义

平方差公式也有直观的几何解释。假设有一个边长为$a$ 的大正方形，从中减去一个边长为$b$ 的小正方形（$a>b$），剩余部分的面积可以用两种方式表示：

方式一：大正方形面积$a^{2}$ 减去小正方形面积$b^{2}$，即$a^{2}-b^{2}$。

方式二：将剩余部分通过拼接转化为一个长为$(a + b)$，宽为$(a - b)$ 的长方形，其面积为$(a + b)(a - b)$ 。

所以$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$ 。

4. 应用

简化计算：在一些数值计算中，利用平方差公式可以简化运算。例如计算$203×197$，可以将其变形为$(200 + 3)(200 - 3)$，根据平方差公式可得$200^{2}-3^{2}=40000 - 9 = 39991$。

因式分解：平方差公式的逆用可以用于因式分解，即$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。例如对$9x^{2}-25$ 进行因式分解，可写成$(3x)^{2}-5^{2}=(3x + 5)(3x - 5)$。