菱形的性质和判定

菱形的性质

边的性质

菱形的四条边都相等。若菱形ABCD，那么AB = BC = CD = DA 。这一性质使得菱形在周长计算上较为简便，周长等于边长的四倍，即$C = 4a$（$a$为菱形的边长）。

对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，具备平行四边形对边平行的基本特征。

 

角的性质

对角相等，比如在菱形ABCD中，∠A = ∠C，∠B = ∠D 。

邻角互补，即∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D = 180°，∠D + ∠A = 180°。

 

对角线的性质

菱形的对角线互相垂直平分。设菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则AC⊥BD，且AO = OC，BO = OD 。

每条对角线平分一组对角。例如AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC 。

 

对称性

菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。

菱形也是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点。

 

面积公式

菱形的面积等于底乘以高，即$S = ah$（$a$是菱形的边长，$h$是这条边上的高）。

由于菱形对角线互相垂直，其面积还等于对角线乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}×d_1×d_2$（$d_1$、$d_2$分别为菱形的两条对角线的长度）。

 

菱形的判定

定义判定

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。在平行四边形ABCD中，如果AB = AD，那么平行四边形ABCD就是菱形。这是基于菱形定义的直接判定方法，强调了从平行四边形出发，通过邻边相等这一条件来确定菱形。

 

边的判定

四条边都相等的四边形是菱形。若在四边形ABCD中，AB = BC = CD = DA，那么四边形ABCD是菱形。这种判定方法不依赖于平行四边形这一前提，直接从四边形四条边的关系进行判定。

 

对角线的判定

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。在平行四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，那么平行四边形ABCD是菱形。此判定方法利用了平行四边形对角线的特殊位置关系（垂直）来判定菱形。