tan的半角公式有那些

$\tan$的半角公式有以下几种形式：

用$\sin\alpha$和$\cos\alpha$表示：

$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$

$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$
推导过程如下：

根据二倍角公式$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$，$\cos\alpha = 2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1 = 1 - 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}$。

$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$，分子分母同时乘以$2\cos\frac{\alpha}{2}$可得：$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$ 。

分子分母同时乘以$2\sin\frac{\alpha}{2}$可得：$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ 。

 

用$\cos\alpha$表示：

$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$

​
推导过程：由$\tan^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}=\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$，两边开方即得$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$

​ 。这里正负号的选取取决于$\frac{\alpha}{2}$所在象限的正切值符号。