常微分方程是含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式，以下是一些常见的常微分方程解法总结： 一阶常微分方程 可分离变量的方程 形式：d y d x = f ( x ) g ( y ) \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)dxdy=f(x)g(y) 解法：将方程变形为1 g ( y ) d y = f ( x ) d x \frac{1}{g(y)}dy = f(x)dxg(y)1dy=f(x)dx，然后两边分别积分∫ 1 g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x + C \int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx + C∫g(y)1dy=∫f(x)dx+C，C CC为任意常数，积分后得到方程的通解。
齐次方程 形式：d y d x = F ( y x ) \frac{dy}{dx}=F(\frac{y}{x})dxdy=F(xy) 解法：作变量代换u = y x u = \frac{y}{x}u=xy，即y = u x y = uxy=ux，那么d y d x = u + x d u d x \frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}dxdy=u+xdxdu。
原方程化为u + x d u d x = F ( u ) u + x\frac{du}{dx}=F(u)u+xdxdu=F(u)，进一步变形为d u F ( u ) − u = d x x \frac{du}{F(u)-u}=\frac{dx}{x}F(u)−udu=xdx，两边积分∫ d u F ( u ) − u = ∫ d x x + C \int\frac{du}{F(u)-u}=\int\frac{dx}{x}+C∫F(u)−udu=∫xdx+C，求出积分后再将u = y x u=\frac{y}{x}u=xy代回，得到原方程的通解。
一阶线性微分方程 形式：d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)dxdy+P(x)y=Q(x)（当Q ( x ) = 0 Q(x)=0Q(x)=0时为齐次线性方程，Q ( x ) ≠ 0 Q(x)\neq0Q(x)=0时为非齐次线性方程 ） 解法： 齐次线性方程：d y d x + P ( x ) y = 0 \frac{dy}{dx}+P(x)y = 0dxdy+P(x)y=0，分离变量得d y y = − P ( x ) d x \frac{dy}{y}=-P(x)dxydy=−P(x)dx，两边积分ln ∣ y ∣ = − ∫ P ( x ) d x + C 1 \ln|y|=-\int P(x)dx + C_1ln∣y∣=−∫P(x)dx+C1，通解为y = C e − ∫ P ( x ) d x y = Ce^{-\int P(x)dx}y=Ce−∫P(x)dx（C = e C 1 C = e^{C_1}C=eC1）。
非齐次线性方程：采用常数变易法，设非齐次方程的解为y = C ( x ) e − ∫ P ( x ) d x y = C(x)e^{-\int P(x)dx}y=C(x)e−∫P(x)dx，对其求导代入原非齐次方程，求出C ( x ) C(x)C(x)，进而得到通解y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ) y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)。
伯努利方程 形式：d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n \frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)y^ndxdy+P(x)y=Q(x)yn（n ≠ 0 , 1 n\neq0,1n=0,1） 解法：令z = y 1 − n z = y^{1 - n}z=y1−n，则d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \frac{dz}{dx}=(1 - n)y^{-n}\frac{dy}{dx}dxdz=(1−n)y−ndxdy，原方程化为1 1 − n d z d x + P ( x ) z = Q ( x ) \frac{1}{1 - n}\frac{dz}{dx}+P(x)z = Q(x)1−n1dxdz+P(x)z=Q(x)，这是一个一阶线性微分方程，按照一阶线性微分方程的解法求解，最后将z = y 1 − n z = y^{1 - n}z=y1−n代回得到原方程的解。
高阶常微分方程 可降阶的高阶微分方程 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x)y(n)=f(x)型 解法：通过n nn次积分求解。
y ( n − 1 ) = ∫ f ( x ) d x + C 1 y^{(n - 1)}=\int f(x)dx + C_1y(n−1)=∫f(x)dx+C1，y ( n − 2 ) = ∫ ( ∫ f ( x ) d x + C 1 ) d x + C 2 y^{(n - 2)}=\int(\int f(x)dx + C_1)dx + C_2y(n−2)=∫(∫f(x)dx+C1)dx+C2，依次积分n nn次得到含有n nn个任意常数的通解。
y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x,y')y′′=f(x,y′)型（不显含y yy） 解法：令p = y ′ p = y'p=y′，则y ′ ′ = d p d x y''=\frac{dp}{dx}y′′=dxdp，原方程化为d p d x = f ( x , p ) \frac{dp}{dx}=f(x,p)dxdp=f(x,p)，这是一个关于x xx和p pp的一阶微分方程，设其通解为p = φ ( x , C 1 ) p = \varphi(x,C_1)p=φ(x,C1)，即d y d x = φ ( x , C 1 ) \frac{dy}{dx}=\varphi(x,C_1)dxdy=φ(x,C1)，再积分一次y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2 y=\int\varphi(x,C_1)dx + C_2y=∫φ(x,C1)dx+C2得到原方程的通解。
y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y,y')y′′=f(y,y′)型（不显含x xx） 解法：令p = y ′ p = y'p=y′，则y ′ ′ = p d p d y y'' = p\frac{dp}{dy}y′′=pdydp，原方程化为p d p d y = f ( y , p ) p\frac{dp}{dy}=f(y,p)pdydp=f(y,p)，这是一个关于y yy和p pp的一阶微分方程，设其通解为p = φ ( y , C 1 ) p = \varphi(y,C_1)p=φ(y,C1)，即d y d x = φ ( y , C 1 ) \frac{dy}{dx}=\varphi(y,C_1)dxdy=φ(y,C1)，分离变量d y φ ( y , C 1 ) = d x \frac{dy}{\varphi(y,C_1)} = dxφ(y,C1)dy=dx，两边积分得到原方程的通解。
线性常系数齐次微分方程 形式：y ( n ) + a 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 y ′ + a n y = 0 y^{(n)} + a_1y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}y'+a_ny = 0y(n)+a1y(n−1)+⋯+an−1y′+any=0，其中a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_na1,a2,⋯,an为常数。
解法：写出特征方程r n + a 1 r n − 1 + ⋯ + a n − 1 r + a n = 0 r^n + a_1r^{n - 1}+\cdots + a_{n - 1}r + a_n = 0rn+a1rn−1+⋯+an−1r+an=0，求出特征根r 1 , r 2 , ⋯ , r n r_1,r_2,\cdots,r_nr1,r2,⋯,rn。
根据特征根的不同情况确定通解形式： 若特征根r 1 , r 2 , ⋯ , r n r_1,r_2,\cdots,r_nr1,r2,⋯,rn是n nn个互不相同的实根，则通解为y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + ⋯ + C n e r n x y = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\cdots + C_ne^{r_nx}y=C1er1x+C2er2x+⋯+Cnernx。
若特征方程有k kk重实根r rr，则通解中对应项为( C 1 + C 2 x + ⋯ + C k x k − 1 ) e r x (C_1 + C_2x+\cdots + C_kx^{k - 1})e^{rx}(C1+C2x+⋯+Ckxk−1)erx。
若特征方程有一对共轭复根α ± i β \alpha\pm i\betaα±iβ，则通解中对应项为e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
线性常系数非齐次微分方程 形式：y ( n ) + a 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 y ′ + a n y = f ( x ) y^{(n)} + a_1y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}y'+a_ny = f(x)y(n)+a1y(n−1)+⋯+an−1y′+any=f(x) 解法：先求对应的齐次方程的通解Y YY（按照线性常系数齐次微分方程的解法），再求非齐次方程的一个特解y ∗ y^*y∗。
原非齐次方程的通解为y = Y + y ∗ y = Y + y^*y=Y+y∗。
求特解y ∗ y^*y∗的方法通常有待定系数法和常数变易法： 待定系数法：根据f ( x ) f(x)f(x)的形式设出特解y ∗ y^*y∗的形式，代入原非齐次方程确定待定系数。
例如当f ( x ) = P m ( x ) e λ x f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}f(x)=Pm(x)eλx（P m ( x ) P_m(x)Pm(x)是m mm次多项式），若λ \lambdaλ不是特征根，设y ∗ = Q m ( x ) e λ x y^* = Q_m(x)e^{\lambda x}y∗=Qm(x)eλx；若λ \lambdaλ是k kk重特征根，设y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y^* = x^kQ_m(x)e^{\lambda x}y∗=xkQm(x)eλx