求一个矩阵的伴随矩阵，需要先了解伴随矩阵的定义，然后根据矩阵的阶数选择合适的方法进行计算。
下面分情况介绍： 二阶矩阵的伴随矩阵求法 对于二阶矩阵 A = ( a b c d ) A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}A=(acbd)，其伴随矩阵 A ∗ A^{*}A∗ 的求法较为简单。
只需将主对角线元素互换位置，副对角线元素取相反数，即 A ∗ = ( d − b − c a ) A^{*} = \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}A∗=(d−c−ba)。
例如，对于矩阵 A = ( 2 3 4 5 ) A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 5\end{pmatrix}A=(2435)，根据上述规则，其伴随矩阵 A ∗ = ( 5 − 3 − 4 2 ) A^{*} = \begin{pmatrix}5 & - 3 \\ -4 & 2\end{pmatrix}A∗=(5−4−32)。
高阶矩阵的伴随矩阵求法 对于 n nn 阶矩阵 A = ( a i j ) n × n A=(a_{ij})_{n\times n}A=(aij)n×n（n ≥ 3 n \geq 3n≥3），求伴随矩阵 A ∗ A^{*}A∗ 需要先求出矩阵 A AA 中每个元素的代数余子式 A i j A_{ij}Aij。
计算代数余子式 A i j A_{ij}Aij： 首先要知道余子式 M i j M_{ij}Mij 的概念，它是指在矩阵 A AA 中划去第 i ii 行和第 j jj 列后所得到的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n - 1)\times(n - 1)(n−1)×(n−1) 阶子矩阵的行列式。
代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij。
例如，对于三阶矩阵 A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}A=a11a21a31a12a22a32a13a23a33，求 a 12 a_{12}a12 的代数余子式 A 12 A_{12}A12： 先求余子式 M 12 M_{12}M12，划去 A AA 的第一行和第二列，得到二阶子矩阵 ( a 21 a 23 a 31 a 33 ) \begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}(a21a31a23a33)，则 M 12 = ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ = a 21 a 33 − a 23 a 31 M_{12}=\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}M12=a21a31a23a33=a21a33−a23a31。
再根据代数余子式的定义，A 12 = ( − 1 ) 1 + 2 M 12 = − ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) A_{12}=(-1)^{1 + 2}M_{12}=-(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})A12=(−1)1+2M12=−(a21a33−a23a31)。
构建伴随矩阵 A ∗ A^{*}A∗： 伴随矩阵 A ∗ A^{*}A∗ 是一个 n × n n\times nn×n 阶矩阵，它的元素 ( A ∗ ) i j = A j i (A^{*})_{ij} = A_{ji}(A∗)ij=Aji（注意这里的下标顺序）。
也就是说，将矩阵 A AA 的代数余子式矩阵的行和列进行互换，得到伴随矩阵 A ∗ A^{*}A∗。
继续以三阶矩阵 A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}A=a11a21a31a12a22a32a13a23a33 为例，其伴随矩阵 A ∗ = ( A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33 ) A^{*}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}A∗=A11A12A13A21A22A23A31A32A33，其中 A i j A_{ij}Aij 是 a i j a_{ij}aij 的代数余子式。
利用公式 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^{*} = |A|EAA∗=∣A∣E 验证或辅助求解 在求出伴随矩阵 A ∗ A^{*}A∗ 后，可以利用公式 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^{*} = |A|EAA∗=∣A∣E 进行验证。
其中 ∣ A ∣ |A|∣A∣ 是矩阵 A AA 的行列式，E EE 是单位矩阵。
如果计算正确，那么 A A ∗ AA^{*}AA∗ 的结果应该是一个对角线上元素都为 ∣ A ∣ |A|∣A∣，其余元素为 0 00 的矩阵。
有时也可以借助这个公式，在已知 A AA 和 ∣ A ∣ |A|∣A∣ 的情况下，辅助求解 A ∗ A^{*}A∗，即 A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^{*} = |A|A^{-1}A∗=∣A∣A−1（前提是 A AA 可逆，即 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0∣A∣=0） 。