在数学中，常见的四次方相关公式如下： 完全平方的平方公式 ( a + b ) 4 (a + b)^4(a+b)4 首先将( a + b ) 4 (a + b)^4(a+b)4变形为[ ( a + b ) 2 ] 2 [(a + b)^2]^2[(a+b)2]2。
因为( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)2=a2+2ab+b2，那么[ ( a + b ) 2 ] 2 = ( a 2 + 2 a b + b 2 ) 2 [(a + b)^2]^2=(a^2 + 2ab + b^2)^2[(a+b)2]2=(a2+2ab+b2)2。
再根据完全平方公式( m + n + p ) 2 = m 2 + n 2 + p 2 + 2 m n + 2 m p + 2 n p (m + n + p)^2 = m^2 + n^2 + p^2 + 2mn + 2mp + 2np(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np（这里m = a 2 m = a^2m=a2，n = 2 a b n = 2abn=2ab，p = b 2 p = b^2p=b2）展开可得： ( a 2 + 2 a b + b 2 ) 2 = ( a 2 ) 2 + ( 2 a b ) 2 + ( b 2 ) 2 + 2 × a 2 × 2 a b + 2 × a 2 × b 2 + 2 × 2 a b × b 2 (a^2 + 2ab + b^2)^2=(a^2)^2+(2ab)^2+(b^2)^2 + 2\times a^2\times 2ab+2\times a^2\times b^2 + 2\times 2ab\times b^2(a2+2ab+b2)2=(a2)2+(2ab)2+(b2)2+2×a2×2ab+2×a2×b2+2×2ab×b2 即a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
( a − b ) 4 (a - b)^4(a−b)4 同样先将( a − b ) 4 (a - b)^4(a−b)4变形为[ ( a − b ) 2 ] 2 [(a - b)^2]^2[(a−b)2]2。
由于( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2，则[ ( a − b ) 2 ] 2 = ( a 2 − 2 a b + b 2 ) 2 [(a - b)^2]^2=(a^2 - 2ab + b^2)^2[(a−b)2]2=(a2−2ab+b2)2。
按照( m + n + p ) 2 = m 2 + n 2 + p 2 + 2 m n + 2 m p + 2 n p (m + n + p)^2 = m^2 + n^2 + p^2 + 2mn + 2mp + 2np(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np（这里m = a 2 m = a^2m=a2，n = − 2 a b n = -2abn=−2ab，p = b 2 p = b^2p=b2）展开得到： ( a 2 − 2 a b + b 2 ) 2 = ( a 2 ) 2 + ( − 2 a b ) 2 + ( b 2 ) 2 + 2 × a 2 × ( − 2 a b ) + 2 × a 2 × b 2 + 2 × ( − 2 a b ) × b 2 (a^2 - 2ab + b^2)^2=(a^2)^2+(-2ab)^2+(b^2)^2 + 2\times a^2\times (-2ab)+2\times a^2\times b^2 + 2\times (-2ab)\times b^2(a2−2ab+b2)2=(a2)2+(−2ab)2+(b2)2+2×a2×(−2ab)+2×a2×b2+2×(−2ab)×b2 也就是a 4 − 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 − 4 a b 3 + b 4 a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4。
平方差的四次方拓展（可逐步推导） ( a 2 − b 2 ) 4 (a^2 - b^2)^4(a2−b2)4 先把( a 2 − b 2 ) 4 (a^2 - b^2)^4(a2−b2)4写成[ ( a 2 − b 2 ) 2 ] 2 [(a^2 - b^2)^2]^2[(a2−b2)2]2。
因为( a 2 − b 2 ) 2 = a 4 − 2 a 2 b 2 + b 4 (a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4(a2−b2)2=a4−2a2b2+b4。
再对( a 4 − 2 a 2 b 2 + b 4 ) 2 (a^4 - 2a^2b^2 + b^4)^2(a4−2a2b2+b4)2按照( m + n + p ) 2 = m 2 + n 2 + p 2 + 2 m n + 2 m p + 2 n p (m + n + p)^2 = m^2 + n^2 + p^2 + 2mn + 2mp + 2np(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np（这里m = a 4 m = a^4m=a4，n = − 2 a 2 b 2 n = - 2a^2b^2n=−2a2b2，p = b 4 p = b^4p=b4）展开： ( a 4 ) 2 + ( − 2 a 2 b 2 ) 2 + ( b 4 ) 2 + 2 × a 4 × ( − 2 a 2 b 2 ) + 2 × a 4 × b 4 + 2 × ( − 2 a 2 b 2 ) × b 4 (a^4)^2+(-2a^2b^2)^2+(b^4)^2+2\times a^4\times (-2a^2b^2)+2\times a^4\times b^4+2\times (-2a^2b^2)\times b^4(a4)2+(−2a2b2)2+(b4)2+2×a4×(−2a2b2)+2×a4×b4+2×(−2a2b2)×b4 最终结果为a 8 − 4 a 6 b 2 + 6 a 4 b 4 − 4 a 2 b 6 + b 8 a^8 - 4a^6b^2 + 6a^4b^4 - 4a^2b^6 + b^8a8−4a6b2+6a4b4−4a2b6+b8