如何求点到面的距离

求点到平面的距离通常有以下几种方法：

向量法

确定平面的法向量：

设平面$\alpha$内有两个不共线向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)$

=(x1​,y1​,z1​)，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$

=(x2​,y2​,z2​)，设平面$\alpha$的法向量$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$

=(x,y,z)。

根据法向量与平面内向量垂直的性质，可得$\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{a}=x_1x + y_1y + z_1z = 0\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{b}=x_2x + y_2y + z_2z = 0\end{cases}$

⋅a

=x1​x+y1​y+z1​z=0n

⋅b

=x2​x+y2​y+z2​z=0​，通过解方程组求出法向量$\overrightarrow{n}$

（一般可令$x$、$y$、$z$中的一个为某个值，进而求出另外两个的值）。

 

求出点与平面内任一点构成的向量：

设点$P$为空间中一点，平面$\alpha$内任取一点$Q$，则向量$\overrightarrow{PQ}=(x_0,y_0,z_0)$

​=(x0​,y0​,z0​)。

 

计算点到平面的距离$d$：

点$P$到平面$\alpha$的距离$d = \frac{\vert\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{n}\vert}{\vert\overrightarrow{n}\vert}$

∣∣PQ

​⋅n

∣​ 。

 

等体积法

构造三棱锥：

已知点$P$和平面$\alpha$，在平面$\alpha$内找出三个不共线的点$A$、$B$、$C$，从而构成三棱锥$P - ABC$。

 

计算三棱锥的体积：

一方面，以$\triangle ABC$为底面，点$P$到平面$ABC$的距离$h$（即所求点到面的距离）为高，三棱锥体积$V_{P - ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot h$，其中$S_{\triangle ABC}$为$\triangle ABC$的面积。

另一方面，通过换底的方法，选择其他合适的面作为底面来计算三棱锥的体积。例如以$\triangle PAB$为底面，求出对应的高和底面面积，算出体积$V$。由于三棱锥的体积是固定的，所以$V = V_{P - ABC}$。

 

求解点到平面的距离$h$：

由$V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot h$，可得$h = \frac{3V}{S_{\triangle ABC}}$。

 

定义法

作垂线：

过点$P$作平面$\alpha$的垂线，垂足为$O$，线段$PO$的长度就是点$P$到平面$\alpha$的距离。

 

利用几何关系求解：

在具体的几何图形中，借助已知的边长、角度等条件，通过勾股定理、相似三角形等几何知识求出$PO$的长度。例如在正方体中，利用正方体的棱长及相关垂直关系来计算点到面的距离。