两个对数相除怎么算

两个对数相除可以利用换底公式来计算。

换底公式为：$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$（$a\gt0$且$a\neq1$；$b\gt0$；$c\gt0$且$c\neq1$ ）。

假设有两个对数$\log_{m}n$与$\log_{p}q$相除，即$\frac{\log_{m}n}{\log_{p}q}$ 。

首先利用换底公式将它们都换成以同一底数的对数，比如都换成以$10$为底（常用对数）或者以$e$为底（自然对数） 。

若都换成以$10$为底，则$\log_{m}n=\frac{\lg n}{\lg m}$，$\log_{p}q = \frac{\lg q}{\lg p}$ 。

那么$\frac{\log_{m}n}{\log_{p}q}=\frac{\frac{\lg n}{\lg m}}{\frac{\lg q}{\lg p}}=\frac{\lg n}{\lg m}×\frac{\lg p}{\lg q}=\frac{\lg n×\lg p}{\lg m×\lg q}$ 。

如果都换成以$e$为底（自然对数，$\ln x$ ），$\log_{m}n=\frac{\ln n}{\ln m}$，$\log_{p}q=\frac{\ln q}{\ln p}$ ，则$\frac{\log_{m}n}{\log_{p}q}=\frac{\frac{\ln n}{\ln m}}{\frac{\ln q}{\ln p}}=\frac{\ln n}{\ln m}×\frac{\ln p}{\ln q}=\frac{\ln n×\ln p}{\ln m×\ln q}$ 。

例如计算$\frac{\log_{2}3}{\log_{4}5}$：

方法一：利用换底公式都换成以$10$为底的对数。

$\log_{2}3 = \frac{\lg 3}{\lg 2}$，$\log_{4}5=\frac{\lg 5}{\lg 4}=\frac{\lg 5}{2\lg 2}$ 。

则$\frac{\log_{2}3}{\log_{4}5}=\frac{\frac{\lg 3}{\lg 2}}{\frac{\lg 5}{2\lg 2}}=\frac{\lg 3}{\lg 2}×\frac{2\lg 2}{\lg 5}=\frac{2\lg 3}{\lg 5}$ 。

 

方法二：利用换底公式都换成以$e$为底的对数。

$\log_{2}3=\frac{\ln 3}{\ln 2}$，$\log_{4}5 = \frac{\ln 5}{\ln 4}=\frac{\ln 5}{2\ln 2}$ 。

所以$\frac{\log_{2}3}{\log_{4}5}=\frac{\frac{\ln 3}{\ln 2}}{\frac{\ln 5}{2\ln 2}}=\frac{\ln 3}{\ln 2}×\frac{2\ln 2}{\ln 5}=\frac{2\ln 3}{\ln 5}$ 。