圆锥体积公式,推导过程

圆锥体积公式为$V = \frac{1}{3}Sh$（$S$是圆锥的底面积，$h$是圆锥的高），下面为你介绍几种常见的推导过程：

实验法

准备一个空心圆锥和一个与圆锥等底等高的空心圆柱，还有足够的沙子。

将圆锥装满沙子，然后倒入圆柱中。可以发现，倒三次正好可以将圆柱装满。

这表明，在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$ 。

因为圆柱体积公式为$V_{圆柱}=Sh$（$S$为底面积，$h$为高），所以与它等底等高的圆锥体积$V_{圆锥}=\frac{1}{3}Sh$。

积分法（适合有微积分基础的情况）

建立圆锥的数学模型：

设圆锥的高为$h$，底面半径为$r$。把圆锥放在直角坐标系中，圆锥的顶点位于原点$(0,0)$，圆锥的轴与$y$轴重合，底面平行于$xOz$平面，且底面圆心在$y$轴上的$y = h$处。

圆锥的母线方程可以通过相似三角形得到。对于圆锥上任意一点$(x,y)$，由相似三角形关系可知$\frac{x}{y}=\frac{r}{h}$，即$x=\frac{r}{h}y$ 。

 

用积分求体积：

考虑用垂直于$y$轴的平面去截圆锥，得到一系列半径不同的圆。在$y$处，截面圆的半径为$x=\frac{r}{h}y$，根据圆的面积公式，该截面圆的面积$S(y)=\pi x^{2}=\pi(\frac{r}{h}y)^{2}$。

圆锥的体积可以看作是这些无穷多个薄片（厚度为$dy$）的体积之和，从$y = 0$到$y = h$进行积分。根据定积分的体积公式$V=\int_{a}^{b}S(y)dy$，这里$a = 0$，$b = h$。

则圆锥体积$V=\int_{0}^{h}\pi(\frac{r}{h}y)^{2}dy$。

先对$\pi(\frac{r}{h}y)^{2}$化简为$\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}y^{2}$。

再对$\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}y^{2}$进行积分，根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$（$n\neq - 1$），可得$\int_{0}^{h}\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}y^{2}dy=\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{1}{3}y^{3}\big|_{0}^{h}$

​0h​。

计算$\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{1}{3}y^{3}\big|_{0}^{h}=\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{1}{3}(h^{3}-0^{3})=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

​0h​=h2πr2​⋅31​(h3−03)=31​πr2h。

因为$\pi r^{2}$就是圆锥的底面积$S$，所以圆锥体积$V = \frac{1}{3}Sh$。