√e近似值用高数知识

我们可以利用泰勒公式来求$\sqrt{e}$

​ 的近似值。

首先，将函数 $f(x)=e^{x}$ 在 $x = 0$ 处展开为泰勒级数。

函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的泰勒展开式为：

$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n}=f(a)+f^{\prime}(a)(x - a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n}+\cdots$

对于函数 $y = e^{x}$，其各阶导数均为 $e^{x}$，即 $f^{(n)}(x)=e^{x}$，$f^{(n)}(0)=e^{0} = 1$

那么 $e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开式为：

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots$

我们要求$\sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}}$

​=e21​，将 $x=\frac{1}{2}$ 代入上述泰勒展开式可得：

$e^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{(\frac{1}{2})^{2}}{2!}+\frac{(\frac{1}{2})^{3}}{3!}+\frac{(\frac{1}{2})^{4}}{4!}+\cdots$

取前几项来计算近似值：

取前三项：

$e^{\frac{1}{2}}\approx1+\frac{1}{2}+\frac{(\frac{1}{2})^{2}}{2!}=1 + \frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{4}}{2}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{8 + 4+ 1}{8}=\frac{13}{8} = 1.625$

取前四项：

$$\begin{align*} e^{\frac{1}{2}}&\approx1+\frac{1}{2}+\frac{(\frac{1}{2})^{2}}{2!}+\frac{(\frac{1}{2})^{3}}{3!}\\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{\frac{1}{8}}{6}\\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{48}\\ &=\frac{48 + 24+ 6 + 1}{48}\\ &=\frac{79}{48}\approx1.6458 \end{align*}$$

取的项数越多，得到的近似值就越精确。