分步积分及推导过程

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。

公式

设函数 $u = u(x)$ 与 $v = v(x)$ 具有连续导数，则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ ，移项可得 $uv^\prime=(uv)^\prime - u^\prime v$ 。

对等式两边求不定积分：
$\int uv^\prime dx = \int (uv)^\prime dx - \int u^\prime vdx$

由于 $\int (uv)^\prime dx = uv + C$（$C$ 为常数），所以得到分部积分公式：
$\int uv^\prime dx = uv - \int u^\prime vdx$

常把该公式简写成 $\int u dv = uv - \int v du$ ，其中 $dv = v^\prime dx$ ，$du = u^\prime dx$ 。

推导过程

首先回顾乘积的求导法则：
已知两个可导函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ ，根据求导公式 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ ，这是基于导数的定义和运算法则得出的基本结论。例如，对于函数 $y = f(x)g(x)$ ，根据导数定义 $y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}$ ，经过一系列变形和极限运算可以得到 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ 。

然后进行等式变换：
由 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ ，移项可以得到 $uv^\prime=(uv)^\prime - u^\prime v$ 。这一步只是简单的代数移项操作，目的是为后续积分做准备。

接着对等式两边进行不定积分：
对 $uv^\prime=(uv)^\prime - u^\prime v$ 两边同时求不定积分，即 $\int uv^\prime dx = \int (uv)^\prime dx - \int u^\prime vdx$ 。
根据不定积分和求导的互逆关系，$\int F^\prime(x)dx = F(x)+C$ （$F^\prime(x)$ 是 $F(x)$ 的导数，$C$ 为任意常数），因为 $(uv)^\prime$ 的原函数就是 $uv$ ，所以 $\int (uv)^\prime dx = uv + C$ 。
去掉常数 $C$（在不定积分运算中，常数 $C$ 在等式两边相消不影响结果），就得到了分部积分公式 $\int uv^\prime dx = uv - \int u^\prime vdx$ 。为了书写方便，令 $dv = v^\prime dx$ ，$du = u^\prime dx$ ，公式就写成了更常用的形式 $\int u dv = uv - \int v du$ 。

示例

求 $\int x e^x dx$

选择 $u = x$ ，$dv = e^x dx$ 。

那么 $du = dx$ ，因为 $u = x$ 求导得 $u^\prime = 1$ ，所以 $du = 1\cdot dx = dx$ ；

$v = e^x$ ，因为 $dv = e^x dx$ ，对 $e^x$ 积分得 $v=\int e^x dx = e^x$ 。

 

根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$ 可得：

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx$

而 $\int e^x dx = e^x + C$ （$C$ 为常数）

所以 $\int x e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$