2的x次方的导数怎么求

 

利用导数定义求$y = 2^{x}$的导数：

导数的定义为函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，对于函数$y = 2^{x}$，其导数$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2^{x + \Delta x}-2^{x}}{\Delta x}$。

对$\frac{2^{x + \Delta x}-2^{x}}{\Delta x}$进行变形，根据指数运算法则$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$，可得$\frac{2^{x + \Delta x}-2^{x}}{\Delta x}=\frac{2^{x}\cdot2^{\Delta x}-2^{x}}{\Delta x}=2^{x}\cdot\frac{2^{\Delta x}-1}{\Delta x}$。

那么$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(2^{x}\cdot\frac{2^{\Delta x}-1}{\Delta x})$，因为$2^{x}$与$\Delta x$无关，可以把$2^{x}$提到极限符号外面，即$y^\prime = 2^{x}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2^{\Delta x}-1}{\Delta x}$。

令$t = 2^{\Delta x}-1$，则$\Delta x=\log_{2}(t + 1)$，当$\Delta x \to 0$时，$t \to 0$。

此时$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim\limits_{t \to 0}\frac{t}{\log_{2}(t + 1)}$，根据对数运算法则$\frac{t}{\log_{2}(t + 1)}=\frac{1}{\frac{1}{t}\log_{2}(t + 1)}=\frac{1}{\log_{2}(t + 1)^{\frac{1}{t}}}$。

根据重要极限$\lim\limits_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$，所以$\lim\limits_{t \to 0}\log_{2}(t + 1)^{\frac{1}{t}}=\log_{2}e$。

那么$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\frac{1}{\log_{2}e}=\ln 2$（利用换底公式$\log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$，$\frac{1}{\log_{2}e}=\frac{\ln 2}{\ln e}=\ln 2$）。

所以$y^\prime = 2^{x}\ln 2$。

 

 

利用复合函数求导法则（公式$(a^{x})^\prime=a^{x}\ln a$ ）求$y = 2^{x}$的导数：

基本初等函数求导公式中有$(a^{x})^\prime=a^{x}\ln a$（$a\gt0$且$a\neq1$ ），对于函数$y = 2^{x}$，这里$a = 2$。

直接根据公式可得$y^\prime=(2^{x})^\prime = 2^{x}\ln 2$ 。

 

综上，$2^{x}$的导数是$2^{x}\ln 2$。