双曲线焦点三角形的面积公式麻烦写下推导过程.

设双曲线方程及焦点三角形相关量

设双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0,b\gt0$），$F_1,F_2$为双曲线的左右焦点，坐标分别为$( - c,0)$，$(c,0)$，$P(x_0,y_0)$是双曲线上一点，且$\angle F_1PF_2=\theta$，则$\triangle F_1PF_2$为焦点三角形。

根据双曲线的定义，$\vert\vert PF_1\vert-\vert PF_2\vert\vert = 2a$。

由两点间距离公式，$\vert PF_1\vert=\sqrt{(x_0 + c)^{2}+y_0^{2}}$

​，$\vert PF_2\vert=\sqrt{(x_0 - c)^{2}+y_0^{2}}$

​。

 

利用余弦定理求$\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert$

在$\triangle F_1PF_2$中，根据余弦定理可得：

$\vert F_1F_2\vert^{2}=\vert PF_1\vert^{2}+\vert PF_2\vert^{2}-2\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert\cos\theta$。

因为$\vert F_1F_2\vert = 2c$，所以$(2c)^{2}=(\vert PF_1\vert-\vert PF_2\vert)^{2}+2\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert - 2\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert\cos\theta$。

又因为$\vert\vert PF_1\vert-\vert PF_2\vert\vert = 2a$，将其代入上式可得：

$4c^{2}=4a^{2}+2\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert(1 - \cos\theta)$。

移项化简得$\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert=\frac{2(c^{2}-a^{2})}{1 - \cos\theta}$。

由于$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，那么$c^{2}-a^{2}=b^{2}$，所以$\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert=\frac{2b^{2}}{1 - \cos\theta}$。

 

 

 

求焦点三角形面积公式

根据三角形面积公式$S_{\triangle F_1PF_2}=\frac{1}{2}\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert\sin\theta$。

将$\vert PF_1\vert\vert PF_2\vert=\frac{2b^{2}}{1 - \cos\theta}$代入上式可得：

$S_{\triangle F_1PF_2}=\frac{1}{2}\times\frac{2b^{2}}{1 - \cos\theta}\times\sin\theta$。

化简$S_{\triangle F_1PF_2}=b^{2}\frac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}$。

再根据三角函数半角公式$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}=\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$，则$\frac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}=\frac{1}{\tan\frac{\theta}{2}}$。

所以$S_{\triangle F_1PF_2}=b^{2}\cot\frac{\theta}{2}$ 。

 

 

综上，双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0,b\gt0$）焦点三角形$\triangle F_1PF_2$（$\angle F_1PF_2 = \theta$）的面积公式为$S = b^{2}\cot\frac{\theta}{2}$。如果双曲线方程是$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0,b\gt0$），焦点三角形面积公式依然是$S = b^{2}\cot\frac{\theta}{2}$ 。