平行四边形的定义及四大定理

平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。用符号“▱”表示，例如平行四边形 $ABCD$ 可记作“▱ $ABCD$”。

平行四边形的四大定理

平行四边形对边相等定理

内容：平行四边形的对边相等。即若四边形 $ABCD$ 是平行四边形，则 $AB = CD$， $AD = BC$。

证明思路：连接平行四边形的一条对角线，比如连接 $AC$。因为平行四边形 $ABCD$ 中 $AB\parallel CD$， $AD\parallel BC$，所以$\angle BAC = \angle DCA$，$\angle ACB = \angle CAD$ ，又 $AC = CA$，根据“角边角”（ASA）判定定理可得$\triangle ABC\cong\triangle CDA$，全等三角形对应边相等，从而得出 $AB = CD$， $AD = BC$。

应用：在已知某四边形是平行四边形的情况下，可以直接得出其对边长度相等，常用于计算平行四边形的边长、周长等问题。例如已知平行四边形一边长为 $5$，其对边长度也为 $5$；若知道相邻两边分别为 $3$ 和 $4$，则可算出周长为$(3 + 4)\times2 = 14$。

 

平行四边形对角相等定理

内容：平行四边形的对角相等。也就是说在平行四边形 $ABCD$ 中，$\angle A = \angle C$，$\angle B = \angle D$。

证明思路：由于平行四边形 $ABCD$ 中 $AB\parallel CD$， $AD\parallel BC$，根据平行线的性质，同旁内角互补，即$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$，$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$，由此可得$\angle A = \angle C$；同理可证$\angle B = \angle D$ 。

应用：在解决与平行四边形角度相关的问题时，利用此定理可以快速得出对角的度数关系。比如已知平行四边形中一个角为 $60^{\circ}$，则其对角也为 $60^{\circ}$，相邻角为 $120^{\circ}$。

 

平行四边形对角线互相平分定理

内容：平行四边形的对角线互相平分。若四边形 $ABCD$ 是平行四边形，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，那么 $AO = OC$， $BO = OD$。

证明思路：同样通过证明三角形全等。在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，所以$\angle OAB = \angle OCD$，$\angle OBA = \angle ODC$，又 $AB = CD$（平行四边形对边相等），根据“角角边”（AAS）判定定理可得$\triangle AOB\cong\triangle DOC$，进而得出 $AO = OC$， $BO = OD$。

应用：在涉及平行四边形对角线相关计算或证明时常用此定理。例如已知平行四边形对角线交点到一边端点的距离，可根据此定理求出对角线另一部分的长度；或者在证明线段相等问题时，如果能证明相关线段是平行四边形对角线的一部分，就可以利用该定理。

 

平行四边形判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

内容：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。即在四边形 $ABCD$ 中，若 $AB\parallel CD$ 且 $AB = CD$，则四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

证明思路：连接 $AC$，因为 $AB\parallel CD$，所以$\angle BAC = \angle DCA$，又 $AB = CD$， $AC = CA$，根据“边角边”（SAS）判定定理可得$\triangle ABC\cong\triangle CDA$，从而得到$\angle ACB = \angle CAD$，所以 $AD\parallel BC$，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

应用：在判断一个四边形是否为平行四边形时，如果能找到一组对边满足平行且相等的条件，就可以得出该四边形是平行四边形。比如在几何图形中，已知某条线段与另一条线段平行且长度相等，就可以考虑以此来证明该四边形是平行四边形，进而利用平行四边形的其他性质解题。