什么叫指数函数?指数函数的表达式是什么?

定义

指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，函数 $y = a^{x}$（$a > 0$，且 $a\neq1$）叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，函数的定义域是 $R$（全体实数）。

表达式

指数函数的标准表达式为 $y = a^{x}$（$a > 0$，且 $a\neq1$） ，这里 $a$ 是一个常数，称为底数，它满足大于 $0$ 且不等于 $1$ 的条件。这是因为：

当 $a = 1$ 时， $y = 1^{x}=1$，此时函数值恒为 $1$，是一个常函数，不具备指数函数应有的变化特性。

当 $a = 0$ 时，若 $x>0$， $0^{x}=0$；若 $x\leqslant0$， $0^{x}$ 无意义，这样函数的定义域无法取到全体实数，不符合指数函数要求。

当 $a < 0$ 时，比如 $a=-2$， $x=\frac{1}{2}$ 时，$( - 2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}$

​，在实数范围内无意义，不能保证对于任意实数 $x$ 函数都有意义。

例如， $y = 2^{x}$， $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 都是指数函数，它们的底数分别是 $2$ 和 $\frac{1}{3}$，符合指数函数对底数的要求，自变量 $x$ 在指数位置上，定义域为 $R$。