求位移中点的速度公式的推导过程,尽可能的详细

设物理量：

设物体做匀变速直线运动，初速度为$v_{0}$，末速度为$v_{t}$，加速度为$a$，位移为$x$。

位移中点的速度为$v_{\frac{x}{2}}$。

 

推导过程：

对前半段位移：

对于匀变速直线运动，速度位移公式为$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$。

在前半段位移$\frac{x}{2}$中，初速度是$v_{0}$，末速度是位移中点速度$v_{\frac{x}{2}}$，根据速度位移公式可得$v_{\frac{x}{2}}^{2}-v_{0}^{2}=2a\times\frac{x}{2}$ ①。

 

对后半段位移：

在后半段位移$\frac{x}{2}$中，初速度是位移中点速度$v_{\frac{x}{2}}$，末速度是$v_{t}$，同样根据速度位移公式有$v_{t}^{2}-v_{\frac{x}{2}}^{2}=2a\times\frac{x}{2}$ ②。

 

联立方程求解：

由①式和②式可知，$v_{\frac{x}{2}}^{2}-v_{0}^{2}=v_{t}^{2}-v_{\frac{x}{2}}^{2}$。

移项可得$2v_{\frac{x}{2}}^{2}=v_{0}^{2}+v_{t}^{2}$。

进一步求解$v_{\frac{x}{2}}$，两边同时除以$2$再开方，得到$v_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{v_{0}^{2}+v_{t}^{2}}{2}}$

​ 。

 

 

综上，位移中点速度公式$v_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{v_{0}^{2}+v_{t}^{2}}{2}}$

​推导完毕。