椭圆和双曲线焦点弦公式是什么

椭圆焦点弦公式

设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a \gt b \gt 0)$，左右焦点分别为$F_1,F_2$，过焦点$F(c,0)$（$c^2 = a^2 - b^2$）的直线与椭圆相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点。

当直线斜率存在时：设直线方程为$y = k(x - c)$，联立椭圆方程$\begin{cases}y = k(x - c)\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases}$，消去$y$得到关于$x$的一元二次方程：$(b^{2}+a^{2}k^{2})x^{2}-2a^{2}ck^{2}x + a^{2}(c^{2}k^{2}-b^{2}) = 0$。

由韦达定理可得$x_1 + x_2=\frac{2a^{2}ck^{2}}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$，$x_1x_2=\frac{a^{2}(c^{2}k^{2}-b^{2})}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$。

根据弦长公式$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​，将$x_1 + x_2$与$x_1x_2$的值代入可得：

$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(\frac{2a^{2}ck^{2}}{b^{2}+a^{2}k^{2}})^2 - 4\cdot\frac{a^{2}(c^{2}k^{2}-b^{2})}{b^{2}+a^{2}k^{2}}}$

​⋅(b2+a2k22a2ck2​)2−4⋅b2+a2k2a2(c2k2−b2)​

​

化简后$\vert AB\vert=\frac{2ab^{2}(1 + k^{2})}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$。

 

 

当直线斜率不存在时：即直线垂直于$x$轴，此时直线方程为$x = c$，代入椭圆方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$可得$y=\pm\frac{b^{2}}{a}$，则焦点弦长$\vert AB\vert=\frac{2b^{2}}{a}$。

双曲线焦点弦公式

设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a \gt 0,b \gt 0)$，左右焦点分别为$F_1,F_2$，过焦点$F(c,0)$（$c^2 = a^2 + b^2$）的直线与双曲线相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点。

当直线斜率存在时：设直线方程为$y = k(x - c)$，联立双曲线方程$\begin{cases}y = k(x - c)\\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases}$，消去$y$得到关于$x$的一元二次方程：$(b^{2}-a^{2}k^{2})x^{2}+2a^{2}ck^{2}x - a^{2}(c^{2}k^{2}+b^{2}) = 0$。

若直线与双曲线两支都相交（即直线斜率$k$满足$\vert k\vert\lt\frac{b}{a}$ ）：

由韦达定理可得$x_1 + x_2=-\frac{2a^{2}ck^{2}}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$，$x_1x_2=-\frac{a^{2}(c^{2}k^{2}+b^{2})}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$。

根据弦长公式$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​，将$x_1 + x_2$与$x_1x_2$的值代入可得$\vert AB\vert=\frac{2ab^{2}(1 + k^{2})}{\vert b^{2}-a^{2}k^{2}\vert}$。

 

若直线与双曲线一支相交（即直线斜率$k$满足$\vert k\vert\gt\frac{b}{a}$ ）：情况较为复杂，需要根据具体的交点位置结合韦达定理和距离公式来计算弦长。

 

当直线斜率不存在时：即直线垂直于$x$轴，此时直线方程为$x = c$，代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$可得$y=\pm\frac{b^{2}}{a}$，则焦点弦长$\vert AB\vert=\frac{2b^{2}}{a}$ 。

这些焦点弦公式在解决椭圆和双曲线中与焦点弦相关的问题，如弦长计算、面积计算等方面有重要应用，使用时要注意直线斜率是否存在以及双曲线中直线与双曲线的相交情况。