请问三角函数的降次是什么啊

三角函数的降次是指利用三角函数的相关公式，将高次的三角函数表达式转化为低次的三角函数表达式的过程。这在简化三角函数运算、积分、求解三角方程等问题中非常有用。主要依据的是二倍角公式及其变形公式。

常用的降次公式

正弦函数降次公式

$\sin^{2}\alpha=\frac{1 - \cos2\alpha}{2}$

推导过程：由二倍角公式$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$，移项可得$2\sin^{2}\alpha = 1 - \cos2\alpha$，两边同时除以 2，就得到$\sin^{2}\alpha=\frac{1 - \cos2\alpha}{2}$。

 

余弦函数降次公式

$\cos^{2}\alpha=\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$

推导过程：根据二倍角公式$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$，移项可得$2\cos^{2}\alpha = 1 + \cos2\alpha$，两边同时除以 2，即得$\cos^{2}\alpha=\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$。

 

正切函数降次公式（较少用但可推导）

$\tan^{2}\alpha=\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}$

推导过程：因为$\tan^{2}\alpha=\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}$，将$\sin^{2}\alpha=\frac{1 - \cos2\alpha}{2}$，$\cos^{2}\alpha=\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$代入可得$\tan^{2}\alpha=\frac{\frac{1 - \cos2\alpha}{2}}{\frac{1 + \cos2\alpha}{2}}=\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}$ 。

 

示例

化简$\sin^{4}x+\cos^{4}x$。

首先对$\sin^{4}x$和$\cos^{4}x$分别降次处理：

$\sin^{4}x = (\sin^{2}x)^{2}$，由$\sin^{2}x=\frac{1 - \cos2x}{2}$，则$(\sin^{2}x)^{2}=(\frac{1 - \cos2x}{2})^{2}=\frac{1 - 2\cos2x+\cos^{2}2x}{4}$。

$\cos^{4}x = (\cos^{2}x)^{2}$，由$\cos^{2}x=\frac{1 + \cos2x}{2}$，则$(\cos^{2}x)^{2}=(\frac{1 + \cos2x}{2})^{2}=\frac{1 + 2\cos2x+\cos^{2}2x}{4}$。

 

然后求$\sin^{4}x+\cos^{4}x$的值：

$\sin^{4}x+\cos^{4}x=\frac{1 - 2\cos2x+\cos^{2}2x}{4}+\frac{1 + 2\cos2x+\cos^{2}2x}{4}$

对上式进行计算：

 

$$\begin{align*} &=\frac{1 - 2\cos2x+\cos^{2}2x + 1 + 2\cos2x+\cos^{2}2x}{4}\\ &=\frac{2 + 2\cos^{2}2x}{4}\\ &=\frac{1+\cos^{2}2x}{2} \end{align*}$$

复制代码

- 此时式子中还有$\cos^{2}2x$，再次利用降次公式$\cos^{2}2x=\frac{1 + \cos4x}{2}$，则：

$$\begin{align*} \frac{1+\cos^{2}2x}{2}&=\frac{1+\frac{1 + \cos4x}{2}}{2}\\ &=\frac{\frac{2 + 1 + \cos4x}{2}}{2}\\ &=\frac{3 + \cos4x}{4} \end{align*}$$

通过降次，复杂的高次三角函数表达式被逐步简化 。